结论：因小孩病情原因向公司请假不批，员工不可以直接辞退，否则可能面临违法解除劳动合同的法律责任。但员工在符合法定情形下，可以解除劳动合同并主张经济补偿。
详细分析：
员工请假不批与辞退的关系：
- 员工因小孩病情需要请假，这是基于家庭紧急情况的合理需求。公司作为用人单位，应当考虑员工的实际情况，尽量给予理解和支持。
- 如果公司不批准请假，员工并不能因此直接辞退。辞退是用人单位对员工的一种单方面解除劳动合同的行为，需要符合法律规定的条件和程序。员工直接辞退可能构成违法解除劳动合同，需要承担相应的法律责任。
员工在何种情况下可以解除劳动合同：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，员工在用人单位存在违法行为或未按照劳动合同约定提供劳动保护、劳动条件等情形下，可以解除劳动合同。
- 具体到本案例，如果公司不批准请假且未提供其他合理的解决方案（如调整工作时间、安排调休等），导致员工无法照顾生病的小孩，可能构成未按照劳动合同约定提供劳动条件的情形。在此情况下，员工可以依据法律规定解除劳动合同，并主张经济补偿。
员工解除劳动合同的程序和注意事项：
- 员工在决定解除劳动合同前，应当尽量与公司进行沟通协商，寻求合理的解决方案。
- 如果协商无果，员工可以依据法律规定向公司发出书面解除劳动合同的通知，并说明解除的理由和依据。
- 员工在解除劳动合同后，有权要求公司支付经济补偿（如果符合法定情形），并办理相关的离职手续。
公司可能面临的法律责任：
- 如果员工因公司不批准请假而直接辞退，且公司无法证明员工存在过错或违法行为，公司可能面临违法解除劳动合同的法律责任，需要支付赔偿金给员工。
- 同时，如果员工的辞退行为给公司造成了损失，公司也有权要求员工承担相应的赔偿责任。但这一责任与员工因小孩病情请假不批而辞退的合法性无关，而是基于员工辞退行为本身可能给公司造成的损失。
建议：
- 作为员工，在遇到类似情况时，应当保持冷静和理性，尽量与公司进行沟通协商，寻求合理的解决方案。
- 如果协商无果且符合法定情形，员工可以依法解除劳动合同并主张经济补偿。但在此过程中，应当注意保留相关证据和文件，以便在需要时维护自己的合法权益。
- 作为公司，应当尊重员工的合理需求，尽量提供必要的支持和帮助。在处理员工请假等事宜时，应当遵循公平、公正、合理的原则，避免引发不必要的法律纠纷。
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