结论前置：针对您提出的问题，若公司续签劳动合同时您因遗忘而未签署，且您希望签署无固定期限劳动合同，这主要涉及到劳动合同的续签程序以及无固定期限劳动合同的签订条件。以下我将从这两个方面为您详细分析可能存在的责任及应对策略。
一、劳动合同续签程序的责任
公司责任：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满，用人单位与劳动者协商一致，可以续订劳动合同。若公司未主动与您提出续签，或者虽提出但未给予您足够的考虑时间，导致您因遗忘而未签署，公司可能存在一定的管理疏忽责任。但这种责任并不直接导致法律上的赔偿，除非因此给您造成了实际损失（如因未及时续签而导致的社保断缴、工资停发等），且您能证明这种损失与公司的疏忽有直接因果关系。
个人责任：
- 作为劳动者，您也有义务关注自己的劳动合同状态，包括合同期限、续签时间等。若因您个人的遗忘或疏忽导致未及时续签，您可能需要承担一定的个人责任，如自行承担因未续签而可能产生的风险（如社保断缴、工资停发等）。但同样，这种责任并不直接导致法律上的赔偿，除非您能证明公司存在故意隐瞒或误导行为。
二、无固定期限劳动合同的签订条件及责任
签订条件：
- 根据《劳动合同法》第十四条，无固定期限劳动合同的签订主要有三种情形：一是劳动者在该用人单位连续工作满十年的；二是用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；三是连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。若您符合上述条件之一，且您希望签署无固定期限劳动合同，您有权向公司提出这一要求。
责任分析：
- 若您符合签订无固定期限劳动合同的条件，但因遗忘而未及时提出，且公司也未主动提及，这并不直接导致您丧失签订无固定期限劳动合同的权利。您仍可以在后续与公司协商时提出这一要求，并说明您符合签订条件。若公司拒绝，您可以通过劳动仲裁等法律途径维护自己的权益。
- 若您不符合签订无固定期限劳动合同的条件，或者虽符合但公司不同意签订，那么您可能需要接受续签固定期限劳动合同或者不续签的结果。在这种情况下，您无需承担任何法律责任。
三、应对策略及建议
及时沟通：
- 建议您尽快与公司的人力资源部门或相关负责人进行沟通，说明您的情况（包括遗忘续签的事实以及希望签署无固定期限劳动合同的意愿）。通过沟通，您可以更好地了解公司的态度和立场，并寻求双方都能接受的解决方案。
准备证据：
- 若您希望签署无固定期限劳动合同，建议您提前准备好相关证据（如工作年限证明、连续订立固定期限劳动合同的证明等），以证明您符合签订条件。这些证据将在后续的协商或劳动仲裁中发挥重要作用。
寻求法律援助：
- 若您与公司无法就续签劳动合同或签订无固定期限劳动合同达成一致意见，您可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师（比如我）。律师将根据您的具体情况和法律法规为您提供专业的法律建议和帮助。
最后，希望以上分析能对您有所帮助。若您有任何其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。