针对老夫妻一方去世，另一方痴呆且由一个儿子长期照顾的情况，关于他们存款的安排，核心原则是既要保障痴呆一方的合法权益，又要考虑实际照顾者的付出与需求，同时需遵循法定继承与监护的相关规定。以下分情况详细说明：

1. 若去世一方未留遗嘱：

   • 根据《民法典》继承编，其存款作为遗产，首先由配偶、子女、父母等第一顺序继承人继承。在痴呆一方仍健在的情况下，其作为配偶有权继承部分遗产。剩余部分则由子女（包括长期照顾的儿子及其他子女）共同继承，原则上平均分配。
   • 但考虑到痴呆一方无民事行为能力，其继承的遗产需由其监护人代为管理。若长期照顾的儿子被指定为监护人，则他有权在合法范围内管理这部分遗产，但不得损害被监护人的利益。
   • 建议：家庭成员可协商确定遗产分配方案，并签订书面协议，明确各自份额及管理方式。若协商不成，可通过诉讼解决，但需注意保护痴呆一方的权益。

2. 若去世一方留有遗嘱：

   • 遗嘱中若明确指定了存款的分配方式，如全部或部分给长期照顾的儿子，则应按照遗嘱执行。但遗嘱内容不得违反法律强制性规定，如不得剥夺缺乏劳动能力又无生活来源的继承人的继承权。
   • 若遗嘱中未涉及痴呆一方的权益，或遗嘱部分无效，则仍需按照法定继承处理剩余遗产。
   • 建议：在制定遗嘱时，应充分考虑痴呆一方的实际需求，确保其基本生活得到保障。同时，遗嘱应明确、具体，避免产生歧义。

3. 关于痴呆一方的存款管理：

   • 痴呆一方作为无民事行为能力人，其存款需由监护人代为管理。监护人应履行监护职责，保护被监护人的财产权益，不得擅自处分被监护人的财产。
   • 若长期照顾的儿子被指定为监护人，他有权在合法范围内使用被监护人的存款，如支付医疗费用、生活费用等。但需定期向其他家庭成员或相关部门报告财产管理情况，接受监督。
   • 建议：家庭成员可共同协商确定监护方案，明确监护人的职责与权限。若条件允许，可设立监护监督机制，确保被监护人的财产安全。

额外提醒：在处理此类家庭财产问题时，建议家庭成员保持沟通与理解，尽量通过协商达成一致意见。若协商不成或存在争议，可寻求专业法律帮助，通过法律途径解决纠纷。同时，应关注痴呆一方的心理健康与生活需求，确保其得到妥善照顾。如有任何法律疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。