结论前置：合同到期后，若您满足签订无固定期限劳动合同的法定条件，且已向公司提出签订要求而公司拒签，您有权通过协商、投诉或仲裁等途径维护自身权益，公司可能面临支付双倍工资等法律责任。
一、签订无固定期限劳动合同的法定条件
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，您在以下情形下有权要求签订无固定期限劳动合同：
- 连续工作满十年：在同一用人单位连续工作满十年的，您有权在合同到期前提出签订无固定期限劳动合同的要求。
- 连续签订两次固定期限合同：若您与用人单位已连续订立二次固定期限劳动合同，且不存在《劳动合同法》第三十九条和第四十条规定的情形（如严重违反规章制度、不能胜任工作等），在续订劳动合同时，您同样有权提出签订无固定期限劳动合同。
- 特殊情形的连续工作：在用人单位初次实行劳动合同制度或国有企业改制重新订立劳动合同时，若您在该单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年，也有权提出签订无固定期限劳动合同。
二、公司拒签无固定期限劳动合同的法律后果
若您满足上述条件之一，且已向公司明确提出签订无固定期限劳动合同的要求，而公司无正当理由拒绝签订，则公司可能面临以下法律后果：
- 支付双倍工资：根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。虽然此条款直接针对的是未签订书面劳动合同的情形，但若公司拒签无固定期限劳动合同且无正当理由，劳动者在申请仲裁时，可主张自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资，此主张有一定概率得到仲裁机构或法院的支持。
- 引发劳动纠纷：公司的拒签行为可能引发劳动纠纷，影响企业的正常经营和声誉。
三、您的权利与应对措施
- 主动提出要求：在合同到期前，您应主动向公司提出签订无固定期限劳动合同的要求，并保留好相关证据，如书面申请、邮件记录等。
- 与公司协商：双方应就合同的具体条款进行充分协商，以确保您的权益得到保障。若公司拒绝协商或协商无果，您可采取进一步措施。
- 保留证据：您应妥善保留能证明自己工作年限、劳动合同签订情况等相关证据，如劳动合同文本、工资条、工作证、考勤记录等，以备后续维权之需。
- 了解时效并及时行使权利：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。您应及时行使自己的权利，避免超过时效。
四、法律救济途径
若公司拒绝签订无固定期限劳动合同且无正当理由，您可采取以下措施维护自身权益：
- 向劳动监察部门投诉：劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行监督检查，并责令其改正。您可向当地劳动监察部门投诉公司的拒签行为。
- 申请劳动仲裁：您可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司签订无固定期限劳动合同，并可主张自应当订立无固定期限劳动合同之日起向您每月支付二倍的工资。若对仲裁结果不服，您还可在规定期限内向人民法院提起诉讼。
五、特殊情况说明
若您虽满足签订无固定期限劳动合同的条件，但出于个人职业规划等原因，主动提出不续签或明确拒绝签订无固定期限合同，则公司无需支付经济补偿，且您需自行承担由此产生的法律后果。但在此情况下，您仍应与公司办理好离职手续，确保工作交接的顺利进行，并保留好相关证据以备不时之需。
总结与建议：合同到期后签订无固定期限劳动合同是您的法定权利，但这一权利的行使需要满足一定的条件并遵循相应的程序。若公司拒签且无正当理由，您应积极采取措施维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。