当行政机关对相关业务不予解答时，您可以采取以下一系列清晰、详细且具有深度的步骤来维护自身权益：

一、确认法定期限与了解法律法规

首先，您需要确认是否已经超过了行政机关对于该类业务答复的法定期限。不同类型的行政申请有不同的法定答复期限，例如行政许可申请、政府信息公开申请等，都有明确的时限规定。同时，深入了解与申请事项相关的法律法规，明确行政机关的法定职责和办理时限，这是判断行政行为是否合法、为后续维权提供法律依据的基础。

二、初步沟通与催问

在尚未确定超过法定期限或刚刚超过法定期限时，建议您以书面或电话等方式与行政机关进行沟通。礼貌地询问申请事项的进展情况，并提醒其尽快处理。书面沟通时，最好采用挂号信或特快专递等方式，并保留好寄送凭证，这些凭证在后续的法律程序中可能作为重要证据。

三、寻求行政系统内部监督

1. 向上级机关反映：如果行政机关仍然不予答复，您可以向该行政机关的上一级行政机关反映情况。提交详细的申请书及相关证明材料，请求上级机关责令其限期作出答复。

2. 向行政监察机关投诉：各级监察委员会负责对公职人员进行监察。如果您认为行政机关工作人员存在违法违纪行为，导致不予答复，可以向监察机关投诉。通过书面、电话、网络等方式反映问题，并提供相关线索和证据。

四、采取正式法律途径

1. 申请行政复议：

   • 根据《中华人民共和国行政复议法》，如果行政机关的不答复行为侵犯了您的合法权益，您可以在知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请（法律规定的申请期限超过六十日的除外）。
   • 准备复议申请材料，包括申请书、证据材料等，并确认复议机关（一般为上一级行政机关或法定复议机关）。
   • 在法定期限内提交申请，并等待复议结果。复议决定通常会在受理申请之日起60日内作出。

2. 提起行政诉讼：

   • 如果对行政复议结果不满意或复议机关逾期未作出决定，您可以在收到复议决定书之日起15日内或复议期满之日起15日内向人民法院提起诉讼。
   • 确认管辖法院，准备诉讼材料（起诉状、证据等），并向有管辖权的人民法院提交。
   • 参加诉讼过程，陈述观点，提供证据，并等待法院的判决。

五、寻求专业法律帮助

在处理复杂或难以解决的行政纠纷时，寻求专业律师的帮助至关重要。律师能提供专业的法律意见、制定维权策略，并在必要时代理进行行政复议或诉讼。您可以联系当地的法律援助机构或律师事务所，寻求他们的帮助和支持。

六、保留所有相关证据

在整个维权过程中，务必保留好所有相关证据，如申请材料副本、邮寄凭证、沟通记录、复议申请材料、诉讼材料等。这些证据将在后续的法律程序中起到至关重要的作用，有助于证明您的诉求和行政机关的不当行为。

综上所述，面对行政机关对相关业务不予解答的情况，您应通过合法途径积极维护自身权益。从确认法定期限、了解法律法规开始，通过沟通催问、寻求行政系统内部监督、采取正式法律途径及寻求专业法律帮助等多管齐下，确保您的合法权益得到有效保护。