当您向行政机关申请履行法定职责后，若行政机关未给予答复，您可以按照以下步骤来维护自己的合法权益：

一、确认是否已超过法定期限

首先，您需要明确所申请事项的法定答复期限。不同类型的行政申请，其答复期限可能有所不同。例如，行政许可申请通常在受理之日起二十日内作出决定，特殊情况可延长十日；而政府信息公开申请则应在收到申请之日起20个工作日内答复，最长延长期限不超过20个工作日。因此，您需要对照相关法律法规，确认行政机关是否已经超过了法定的答复期限。

二、尝试与行政机关进行沟通催问

在确认尚未超过法定期限或刚刚超过法定期限时，建议您以书面或电话等方式与行政机关进行沟通。您可以礼貌地询问申请事项的进展情况，并提醒行政机关尽快处理。若选择书面沟通，最好采用挂号信或特快专递等方式，并保留好寄送凭证，以便后续作为证据使用。

三、寻求行政系统内部监督解决

1. 向上级机关反映：若行政机关仍未答复，您可以向该行政机关的上一级行政机关反映情况。提交申请书及相关证明材料，请求上级机关责令其限期作出答复。

2. 向行政监察机关投诉：各级监察委员会负责对公职人员进行监察。您可以向监察机关投诉行政机关不履行法定职责（包括不答复申请），监察机关将依法进行调查处理。

四、采取法律救济途径

1. 行政复议：

   • 根据《中华人民共和国行政复议法》，如果行政机关的不答复行为侵犯了您的合法权益，您可以在知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请（法律规定的申请期限超过六十日的除外）。
   • 复议申请书应详细说明复议请求、事实和理由，并附上相关证据。
   • 复议机关经审理认为行政机关确实存在不履行法定职责的情况，会责令其在一定期限内作出答复。

2. 行政诉讼：

   • 如果对行政复议结果不满意或不愿意经过行政复议程序，您可以直接向人民法院提起行政诉讼。诉讼应在知道或应当知道作出行政行为之日起六个月内提出（法律另有规定的除外）。
   • 在诉讼中，您需要提供证据证明自己提出过申请且行政机关未答复的事实。法院将根据审理情况判决行政机关履行答复职责，并可能判决行政机关承担相应赔偿责任。

五、寻求法律援助

在申请行政复议或提起行政诉讼过程中，如遇到法律难题或需要专业法律帮助，您可以寻求法律援助机构的帮助。法律援助机构将为符合条件的申请人提供法律咨询、代理等法律服务。

综上所述，面对行政机关不答复的情况，您应通过合法途径积极维护自身权益。从确认法定期限到沟通催问，再到寻求行政系统内部监督解决和法律救济途径，每一步都应谨慎而有序地进行。希望这些建议能对您有所帮助。