公民申请行政履职后行政机关不答复的，公民可以通过申请行政复议或提起行政诉讼来维护自身权益。以下是详细分析：

1. 行政复议途径：

   • 复议申请：公民、法人或其他组织认为行政机关不履行法定职责的行为侵犯其合法权益时，可以自知道该不履行法定职责行为之日起六十日内，向具有管辖权的行政复议机关提出行政复议申请。
   • 复议审查：行政复议机关将对行政机关的不答复行为进行审查，判断其是否构成不履行法定职责。若构成，行政复议机关将作出责令行政机关履行法定职责的复议决定。
   • 复议决定执行：行政机关应当执行行政复议决定，履行其法定职责。若行政机关不执行，公民、法人或其他组织可以依法向人民法院申请强制执行。

2. 行政诉讼途径：

   • 起诉条件：公民、法人或其他组织认为行政机关不履行法定职责，且经过行政复议程序后仍未得到解决，或者法律、法规规定可以直接向人民法院提起诉讼的，可以在法定期限内向人民法院提起行政诉讼。
   • 诉讼审理：人民法院将对行政机关的不答复行为进行合法性审查，包括是否属于行政机关的法定职责范围、行政机关是否确实未履行该职责等。
   • 判决执行：若人民法院判决行政机关履行法定职责，行政机关应当在法定期限内履行。若行政机关不履行，公民、法人或其他组织可以依法向人民法院申请强制执行，并可能要求行政机关承担相应的法律责任。

额外建议：

• 保留证据：在申请行政履职及后续维权过程中，公民应妥善保留相关证据，如申请书、邮寄凭证、行政机关的签收记录等，以证明其已依法提出申请且行政机关未予答复。
• 咨询专业意见：由于行政复议和行政诉讼涉及复杂的法律程序和实体问题，公民在维权过程中可以寻求专业律师的帮助，以确保其权益得到充分保障。
• 关注时效：公民在申请行政复议或提起行政诉讼时，应注意相关时效规定，避免因超过时效而丧失维权机会。