在法院判决不存在劳动关系后，一般情况下不可以直接再打行政诉讼，但存在特定情形时可以提起行政诉讼。以下是对此问题的详细分析：
一、一般情况下的不可诉性
民事判决的既判力：
- 法院在民事诉讼中作出的关于劳动关系是否存在的判决，具有既判力。这意味着，一旦判决生效，该判决所确定的事实和法律关系，在后续的诉讼中通常不得被重新争议或推翻。
- 因此，在民事判决已经明确不存在劳动关系后，当事人一般不能仅就同一事实和法律关系再次提起行政诉讼，要求行政机关重新认定劳动关系。
行政诉讼的受案范围：
- 行政诉讼主要审查行政机关的具体行政行为是否合法。在劳动关系认定方面，如果行政机关并未作出具体的行政行为（如未出具劳动关系认定书），或者其行政行为并未被直接挑战（如未作为被告被起诉），则通常不构成行政诉讼的受案范围。
二、特定情形下的可诉性
行政机关先行处理的情况：
- 如果当事人认为行政机关在劳动关系认定方面存在违法行为（如未依法履行职责、错误认定劳动关系等），且该行政行为直接影响了其合法权益，那么在符合行政诉讼受案范围的前提下，可以提起行政诉讼。
- 但需要注意的是，这种情况下提起行政诉讼，通常需要先经过行政复议等前置程序（如果法律有规定的话），或者是在行政机关作出具体行政行为后直接提起。
民事判决与行政行为的关联性：
- 如果民事判决的作出依赖于行政机关的某个行政行为（如劳动关系认定书），且当事人认为该行政行为违法或不当，那么虽然不能直接就民事判决提起行政诉讼，但可以针对该行政行为提起行政诉讼，请求撤销或变更该行政行为。
- 然而，这种诉讼并不直接挑战民事判决本身，而是挑战作为民事判决依据的行政行为。如果行政行为被撤销或变更，民事判决的效力可能会受到影响，但需要通过再审等程序来处理。
三、法律建议
审查行政行为：
- 在考虑提起行政诉讼前，应仔细审查行政机关是否作出了具体的行政行为，以及该行为是否可诉。如果行政机关并未作出具体行政行为，或者其行为不构成行政诉讼的受案范围，则提起行政诉讼可能不会被受理。
考虑再审程序：
- 如果认为民事判决存在错误，且该错误与行政机关的行政行为有关，可以考虑通过再审程序来纠正民事判决。这通常需要提供新的证据或理由来证明原判决存在错误。
咨询专业律师：
- 由于劳动工伤和行政诉讼涉及复杂的法律问题，建议在采取任何法律行动前咨询专业律师。律师可以根据具体情况提供针对性的法律建议和策略。
如有具体法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供全面、专业的法律服务。