结论：根据您描述的情况，若您与前工作单位已经连续签署了4次固定期限劳动合同，且符合签订无固定期限劳动合同的条件但单位未与您签订，您是有权要求单位签订无固定期限劳动合同的，若单位拒绝，您还可以要求相应的赔偿。不过，具体能否要求赔偿及赔偿的数额，需结合实际情况判断。

分析说明：

1. 无固定期限劳动合同的签订条件：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。同时，存在以下情形之一的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：
     • 劳动者在该用人单位连续工作满十年的；
     • 用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；
     • 连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。
   • 在您的情况下，若已经连续签署了4次固定期限劳动合同，且不存在上述法律规定的例外情形（如劳动者严重违反用人单位规章制度等），那么在续订劳动合同时，除非您主动提出订立固定期限劳动合同，否则单位应当与您订立无固定期限劳动合同。

2. 单位未签订无固定期限劳动合同的法律责任：

   • 如果单位违反上述规定，未与您签订无固定期限劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 赔偿计算：若您因此要求赔偿，赔偿的数额将基于您应得而未得的工资差额计算，即自应当订立无固定期限劳动合同之日起，单位应支付您每月二倍的工资，减去已支付的一倍工资，实际赔偿为每月一倍工资的差额。具体数额需根据您的实际工资水平和未签订无固定期限劳动合同的持续时间来确定。

3. 实际操作建议：

   • 首先，建议您与单位进行沟通，明确表达您希望签订无固定期限劳动合同的意愿，并了解单位的态度和原因。
   • 如果单位拒绝签订，您可以收集相关证据（如劳动合同、工作证明、工资单等），向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求单位签订无固定期限劳动合同并支付相应的赔偿。
   • 在仲裁过程中，您需要提供充分的证据证明您与单位之间存在劳动关系，且已经连续签署了多次固定期限劳动合同，同时符合签订无固定期限劳动合同的条件。

后续行动建议：

• 若您决定采取法律行动，建议尽快咨询专业律师（即我本人，裴育律师，专注于公司事务、经济纠纷、合同纠纷、婚姻家庭、刑事辩护领域），以便更详细地了解您的权利和义务，以及具体的法律程序和策略。
• 在咨询律师时，请提供所有相关的证据和文件，以便律师能够更准确地评估您的案件，并为您提供有针对性的法律建议。

如有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。