结论：工作十年签过四次合同但未签无固定期限合同，在特定情况下劳动者可以要求单位赔偿。具体能否要求赔偿以及赔偿的金额和方式，需结合实际情况来判断。
一、关于无固定期限劳动合同的签订及赔偿
法律规定：
- 根据《劳动合同法》第十四条，劳动者在用人单位连续工作满十年的，应当订立无固定期限劳动合同。
- 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位违反规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
实际情况分析：
- 在您工作十年的情况下，如果符合签订无固定期限劳动合同的条件（即连续工作满十年），而单位未与您签订，那么单位应当自应当订立无固定期限劳动合同之日起向您每月支付二倍的工资。
- 但需要注意的是，主张双倍工资赔偿受仲裁时效限制，一般为一年。因此，您可能难以主张自用工之日起满一年前未签合同期间的双倍工资差额，但对于应当订立无固定期限劳动合同后仍未签订书面合同的情况，您可主张自应当订立之日起的双倍工资差额，同样需考虑仲裁时效。
二、关于社会保险补缴及经济补偿
补缴社会保险：
- 根据《社会保险法》，用人单位应自用工之日起三十日内为职工办理社会保险登记。未办理的，由社会保险经办机构核定应缴费用。
- 如果十年间单位未为您缴纳社保，您可以要求单位补缴这十年的社保费，以保障自身在养老、医疗等方面的权益。
经济补偿：
- 根据《劳动合同法》第三十八条，若用人单位未依法为劳动者缴纳社保费，劳动者可解除劳动合同并要求经济补偿。补偿标准按工作年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计，不满六个月的支付半个月工资。
- 因此，如果您以未依法缴纳社保为由解除劳动合同，可要求单位支付十个月工资的经济补偿（月工资高于当地职工月平均工资三倍的，按三倍数额支付，最高不超过十二年）。
三、赔偿的实际情况与途径
实际情况分析：
- 如果您在这十年间未因未签订劳动合同而遭受实际损害（如工资、社保等待遇均按时足额支付和缴纳），则通常难以主张经济赔偿。
- 但若因此遭受损害（如未支付加班费、未缴纳社保等），您可就具体损害事实向单位提出赔偿要求。
主张赔偿的途径：
- 劳动争议调解：可向企业劳动争议调解委员会或基层人民调解组织等申请调解。
- 劳动仲裁：调解不成时，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，需在劳动争议发生之日起一年内提出书面申请。
- 诉讼：对仲裁裁决不服的，除法律另有规定外，可向人民法院提起诉讼。
四、具体建议
- 收集证据：在维权过程中，您需要收集相关证据来证明单位未依法签订无固定期限劳动合同以及未缴纳社保的事实。这些证据可能包括劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等。
- 及时行动：由于仲裁时效的限制，建议您及时行使自己的权利，避免超过仲裁时效。
- 咨询与协商：在采取法律行动之前，您可以先尝试与单位进行协商，要求单位补签无固定期限劳动合同、补缴社保并支付相应的赔偿。如果协商无果，再考虑通过法律途径解决。
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