结论前置：在四次合同到期后未签订新的劳动合同的情况下，您确实有可能要求赔偿，但具体能否获得赔偿以及赔偿的金额，需根据实际情况和法律规定来判断。
法律背景与解释：
劳动合同的续签与终止：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，双方当事人可以协商续签劳动合同。如果用人单位未提出续签或者提出的续签条件低于原合同，而劳动者不同意续签的，用人单位通常需要支付经济补偿金。
- 若劳动合同期满后，用人单位继续用工而未与劳动者续签书面劳动合同的，根据法律规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
四次合同到期后的特殊情况：
- 在您的情况下，已经经历了四次合同到期，如果每次到期后都未签订新的劳动合同，但用人单位继续用工，那么从第二次合同到期未续签开始，用人单位就可能面临支付二倍工资的风险（如果超过了法定的一个月宽限期）。
- 然而，需要注意的是，如果双方在实际操作中已经形成了事实上的劳动关系，且劳动者没有提出异议，这并不影响劳动者在后续要求用人单位签订书面劳动合同或主张相关权益的权利。
赔偿的请求与计算：
- 如果您决定要求赔偿，首先需要确定赔偿的依据和金额。对于未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿，计算方式通常是：从用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日，按劳动者实际获得的月收入扣除加班工资、非常规性奖金、福利性、风险性等项目后的工资确定月工资标准，再乘以相应的月份数。
- 但需要注意的是，双倍工资赔偿的仲裁时效为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，您需要及时主张自己的权益。
法律建议：
- 收集证据：首先，您需要收集与用人单位存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录等，以及每次合同到期后未续签的相关证据。
- 协商与调解：在准备主张权益之前，您可以尝试与用人单位进行协商或寻求劳动调解机构的帮助，看是否能够达成和解。
- 法律途径：如果协商和调解无果，您可以向当地劳动仲裁委员会提起仲裁申请，要求用人单位支付未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿以及其他可能的经济补偿。
可能的法律后果：
- 如果您的主张得到支持，用人单位将需要支付相应的赔偿金额。
- 如果用人单位拒绝支付或双方无法达成一致，案件可能会进入诉讼程序，由法院进行裁决。
进一步思考：
- 在处理此类纠纷时，除了关注法律条款和赔偿金额外，还需要考虑实际操作的可行性和成本效益。例如，如果赔偿金额不大而诉讼成本较高，可能需要权衡是否值得通过法律途径解决。
- 此外，还需要关注当地劳动仲裁委员会或法院的裁判倾向和案例，以便更好地预测案件结果和制定应对策略。
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