公司不可以随意辞退一名在公司工作了十八年的员工。这一结论主要基于以下几点法律分析：
无固定期限劳动合同的订立：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在用人单位连续工作满十年的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这意味着，对于在公司工作了十八年的员工，公司应当与其订立无固定期限劳动合同，以保障其职业稳定性。
违法解除劳动合同的后果：
- 如果公司随意辞退员工，尤其是没有法定正当理由的情况下，将构成违法解除劳动合同。根据法律规定，员工有权要求公司继续履行劳动合同。若员工不要求继续履行或劳动合同已无法继续履行，公司需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 经济补偿的计算方式为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。因此，对于工作十八年的员工，正常经济补偿是十八个月工资，而违法辞退的赔偿金则至少是三十六个月工资（具体数额可能因地区和具体情况有所不同，但原理一致）。
合法辞退的情形：
- 尽管公司不能随意辞退员工，但在某些法定情形下，公司是有权辞退员工且无需支付经济补偿的。这些情形包括但不限于：员工严重违反用人单位的规章制度、严重失职营私舞弊给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等。
- 在这些情况下，公司需要有充分证据来证明这些情形的存在，以确保辞退行为的合法性。对于在公司工作了十八年的老员工，公司更应谨慎处理，避免因不当辞退而引发法律纠纷。
特殊情况下的处理：
- 如果员工达到退休年龄但未享受基本养老保险待遇，且公司希望终止劳动合同，那么需要依据当地的具体规定来处理。部分地区可能支持公司终止劳动合同，但部分地区可能更注重员工是否享受养老保险待遇作为劳动合同终止的条件。因此，在这种情况下，公司应咨询当地劳动部门或专业律师以获取准确指导。
建议与行动：
- 对于公司：在辞退员工时，务必确保有合法的辞退理由，并依法承担相应的法律责任。对于长期服务的员工，更应注重人文关怀和法律合规性，避免因不当处理而引发不必要的法律纠纷。
- 对于员工：如果认为自己被公司不当辞退，有权通过法律途径来维护自己的合法权益。可以要求公司继续履行合同，或者要求公司支付相应的赔偿金。在必要时，可以寻求法律援助或咨询专业律师以确保自己的权益得到充分保障。
综上所述，公司不可以随意辞退一名在公司工作了十八年的员工。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。