结论前置：公司有权辞退工作十几年的员工，但必须严格遵循法定条件和程序，否则可能构成违法解除劳动关系，需承担相应法律责任。以下从合法辞退的情形、不得辞退的例外情形以及辞退的法律后果三个方面进行详细说明：
一、合法辞退的情形
根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规，用人单位在特定情形下可以解除劳动合同，包括但不限于以下几种情况：
协商一致解除：用人单位与劳动者协商一致，可以解除劳动合同。这种情况下，双方应签订书面协议，明确解除劳动关系的具体事宜。例如，员工与公司就离职补偿等事宜达成一致，并签署书面协议。
过失性辞退：劳动者存在严重违反用人单位规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等情形的，用人单位可以立即解除劳动合同，无需提前通知或支付经济补偿金。例如，员工因严重违反公司安全规定导致重大事故，公司可依法辞退。
无过失性辞退：劳动者患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作也不能从事另行安排的工作、不胜任工作经培训或调岗后仍不胜任、劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化致使合同无法履行且未能就变更合同达成协议等情形的，用人单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付一个月工资后解除劳动合同，并需支付经济补偿金。例如，员工因长期患病无法从事原工作，且经调整后仍不能胜任，公司可提前通知并支付补偿后辞退。
经济性裁员：用人单位因经营发生严重困难、濒临破产进行法定重整等需要裁减人员二十人以上或者裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的，可以依照法定程序进行经济性裁员，但需优先留用长期员工，并支付经济补偿金。例如，公司因市场环境变化需裁员，需按程序进行并支付补偿。
二、不得辞退的例外情形
即使劳动者存在某些不符合工作要求的情况，用人单位也不得随意解除劳动合同，特别是针对在本单位连续工作满十五年且距法定退休年龄不足五年的老员工，除非存在严重违纪、刑事犯罪等极端情形。具体包括：
职业病或工伤：从事接触职业病危害作业的劳动者未进行离岗前职业健康检查，或者疑似职业病病人在诊断或者医学观察期间的；患职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力的。
医疗期保护：劳动者患病或非因工负伤，在规定的医疗期内的。
女职工特殊保护：女职工在孕期、产期、哺乳期的。
法律特别规定：在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年的。
三、辞退的法律后果
经济补偿金：用人单位依法解除劳动合同的，应当向劳动者支付经济补偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。例如，员工在公司工作十年，月工资为5000元，则经济补偿金为10年×5000元/月=50,000元。
赔偿金：用人单位违法解除劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。例如，若公司违法辞退上述员工，则需支付赔偿金为10年×5000元/月×2=100,000元。
其他责任：若用人单位未按规定支付经济补偿金或赔偿金的，还可能面临劳动行政部门的处罚，如责令限期支付、加付赔偿金等。
总结与建议：公司在辞退工作十几年的员工时，必须基于合法的理由和程序，否则将面临严重的法律后果。因此，建议公司在做出辞退决定前，务必仔细审查员工的行为是否构成法定辞退情形，并确保遵循了相应的程序。同时，也建议劳动者了解自己的权益，如遇不公正待遇，应及时向我咨询以维护自身合法权益。