结论：没签劳动合同但在上班途中骨折，在一定条件下可以申请劳动仲裁，主要取决于是否构成工伤以及能否证明与用人单位存在事实劳动关系。以下从不同角度详细分析：
一、能否申请劳动仲裁的前提——是否构成工伤
根据《工伤保险条例》第十四条第六项规定，在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的，应当认定为工伤。因此，若您在上班途中因交通事故骨折，且您不承担主要责任，那么您的情况可能构成工伤。
二、申请劳动仲裁的关键——证明事实劳动关系
虽然您未与用人单位签订书面劳动合同，但根据《关于确立劳动关系有关事项的通知》等相关规定，您仍可以通过以下证据来证明与用人单位存在事实劳动关系：
- 工资支付凭证或记录：如工资条、银行转账记录等，能够显示用人单位向您支付工资的情况。
- 工作证、服务证等：能够证明您在用人单位工作的身份证明。
- 考勤记录：如打卡记录、考勤表等，能够证明您的工作时间和出勤情况。
- 其他劳动者证言：与您一同工作的同事的证言，可以证明您在用人单位工作的事实。
- 其他相关证据：如工作邮件、工作聊天记录、工作照片等，也能在一定程度上证明您与用人单位的关系。
三、申请劳动仲裁的流程及可能的结果
- 申请工伤认定：首先，您需要向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请，并提交相关证据材料。若认定构成工伤，您将享受工伤保险待遇。
- 申请劳动仲裁：若用人单位未与您签订书面劳动合同，且未依法为您缴纳工伤保险费，您可以在工伤认定后，向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求用人单位支付工伤保险待遇及未签订书面劳动合同的双倍工资差额等。
- 可能的结果：若劳动争议仲裁委员会认定您与用人单位存在事实劳动关系，并构成工伤，那么您将有权获得相应的工伤保险待遇，包括医疗费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。同时，用人单位还可能因未签订书面劳动合同而需支付您双倍工资差额。
四、特殊情况及建议
- 若用人单位否认劳动关系：若用人单位否认与您存在劳动关系，您需要通过上述证据来证明事实劳动关系的存在。在此过程中，您可能需要寻求法律援助或咨询专业律师，以更好地维护自己的权益。
- 及时收集证据：建议您尽快收集并保存相关证据，如工资支付凭证、工作证、考勤记录等，以便在申请工伤认定和劳动仲裁时使用。
- 了解当地政策：不同地区的工伤保险政策和劳动仲裁流程可能有所不同，建议您了解当地的具体政策，以便更好地维护自己的权益。
最后，若您遇到此类问题，建议直接向我咨询，我将根据您的具体情况，为您提供更详细、更专业的法律建议。