结论：当劳动者与用人单位连续签订三次固定期限劳动合同后，若单位在合同到期后选择不续签，这一行为可能涉及违法终止劳动合同，劳动者有权要求单位支付赔偿金，并可通过协商、劳动仲裁或诉讼等途径维护自身权益。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据与合同到期后的权利义务
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条第二款第三项的规定，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这意味着，在连续签订两次固定期限劳动合同后，如果劳动者没有违反法律规定或严重失职等情形，且愿意继续签订劳动合同，用人单位应当与其签订无固定期限劳动合同。
对于已经连续签订三次固定期限劳动合同的情况，虽然法律未直接规定必须签订无固定期限劳动合同的次数上限，但基于该条款的立法精神，劳动者在第三次合同到期后，若提出续订无固定期限劳动合同，且符合签订条件（如无重大过错、愿意续订等），用人单位应当与其签订无固定期限劳动合同。若用人单位拒绝续签，则可能构成违法终止劳动合同。
二、单位不续签的后果
违法终止劳动合同：如果用人单位在第三次劳动合同到期后拒绝续签，且劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件，则用人单位的行为可能构成违法终止劳动合同。
支付赔偿金：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，若用人单位违法终止劳动合同，需要按照劳动者在本单位的工作年限，每满一年支付两个月工资的标准向劳动者支付赔偿金。
三、劳动者的应对措施
与单位协商：首先，劳动者可以尝试与用人单位进行协商，表达希望签订无固定期限劳动合同的意愿，并了解单位不续签的具体原因。在协商过程中，劳动者可以保留相关证据，如沟通记录、书面要求等，以备后续维权之需。
申请劳动仲裁：如果协商无果，劳动者可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求确认用人单位的终止行为违法，并要求其支付赔偿金。在申请仲裁时，劳动者需要准备相关证据材料，如劳动合同、工资单、工作记录、沟通记录等。
提起诉讼：对仲裁结果不服的，劳动者还可以向人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。在诉讼过程中，劳动者需要遵循法律程序，提供充分的证据支持自己的主张。
四、注意事项
保留证据：在整个过程中，劳动者应注意保留相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录、沟通记录等，以便在需要时证明自己的权益。这些证据对于后续的协商、仲裁或诉讼都至关重要。
及时维权：劳动者应在知道或应当知道自己的权益受到侵害之日起一年内提起劳动仲裁或诉讼，以免超过时效期间而丧失胜诉权。及时维权是保护自身权益的关键。
了解地方司法实践：不同地区的司法实践可能存在差异，劳动者在维权过程中应了解并遵循当地的司法实践和规定。例如，部分地区对“连续两次”的认定可能更宽松（如包含事实劳动关系），或对赔偿金计算基数有特殊规定。
示例说明：假设张某与某公司连续签订了三次一年期的固定期限劳动合同，且张某在工作中没有违反法律规定或严重失职等情形。在第三次合同到期前，张某向公司表达了希望签订无固定期限劳动合同的意愿，但公司拒绝续签。此时，张某可以与公司进行协商，若协商无果，张某可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求确认公司的终止行为违法，并要求其支付赔偿金。若对仲裁结果不服，张某还可以向人民法院提起诉讼。
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