结论：针对公司口头通知员工签合同，没有录音，员工不肯签反而告公司的情况，公司可以从多个角度进行应对，包括证明已履行通知义务、分析员工不签合同的原因及后果，以及准备相关证据材料等。
详细分析：
证明公司已履行通知义务：
- 尽管没有录音作为直接证据，但公司可以通过其他方式证明已口头通知员工签订合同。例如，可以寻找在场的其他员工作为证人，证明公司确实进行了口头通知。
- 公司还可以检查内部流程，如是否有发送过关于签订合同的邮件、短信或内部通知等，这些都可以作为辅助证据。
- 若公司有规定或惯例，即新员工入职或合同到期前需签订新合同，且这一规定或惯例已通过员工手册、内部培训等方式告知员工，那么这也可以间接证明公司已履行了通知义务。
分析员工不签合同的原因及后果：
- 员工不肯签合同可能有多种原因，如对合同条款不满意、认为公司待遇不佳、个人职业规划与公司不符等。公司应尝试与员工沟通，了解其不签合同的具体原因。
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，如果员工因公司原因（如未履行通知义务）而未签合同，公司可能面临支付双倍工资的风险。但在此案例中，由于公司已口头通知（尽管无录音），且员工不肯签，公司需证明已尽到合理义务以避免此风险。
- 如果员工无正当理由拒绝签订合同，且公司已履行通知义务，那么公司有权根据法律规定或公司规章制度与员工解除劳动关系，并无需支付经济补偿。
准备相关证据材料：
- 公司应收集所有可能的证据材料，包括证人证言、邮件、短信、内部通知、员工手册等，以证明公司已履行通知义务且员工无正当理由拒绝签订合同。
- 如果公司有监控录像或录音设备（尽管此次未录音），也应检查是否有可能捕捉到相关通知场景，以备不时之需。
应对员工起诉的策略：
- 如果员工确实向劳动仲裁机构或法院提起诉讼，公司应积极应诉，提交上述证据材料以证明自己的立场。
- 公司可以寻求法律援助或聘请专业律师进行代理，以确保在诉讼过程中充分维护自己的合法权益。
建议：
- 在未来，公司应尽量采用书面形式通知员工签订合同，并保留好相关证据，以避免类似纠纷的发生。
- 如果员工对合同条款有异议或提出修改建议，公司应积极与员工沟通协商，以达成双方都能接受的合同条款。
- 在处理此类纠纷时，公司应保持冷静和理性，避免与员工发生不必要的冲突和争执。
如有任何进一步的问题或需要更具体的法律建议，请直接向我咨询。