结论：在交通事故中，如果肇事者逃亡且受害者昏迷，家属已经支付了医药费而肇事方不给的情况下，家属是有权起诉肇事方的。
法律背景与依据
民事责任：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。在交通事故中，肇事者因逃逸行为导致受害者受伤，且未履行赔偿义务，显然构成了对受害者民事权益的侵害，因此应当承担相应的民事责任。
起诉条件：家属作为受害者的法定代理人或继承人，在受害者因交通事故受伤且肇事者逃逸的情况下，有权代表受害者或在其死亡后继承其权利，向法院提起诉讼，要求肇事者承担民事赔偿责任。起诉的条件包括有明确的被告、具体的诉讼请求、事实与理由，以及属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖。
具体法律建议
收集证据：在起诉前，家属应尽可能收集与事故相关的证据，如事故现场照片、医疗记录、医药费发票、证人证言等，以证明肇事者的过错和受害者的损失。这些证据将对于后续的诉讼过程至关重要。
确定被告：由于肇事者逃逸，家属可能需要通过交警部门或其他途径获取肇事者的身份信息，以便在起诉时明确被告。如果无法直接获取肇事者信息，可以考虑将肇事车辆的保险公司作为共同被告，要求其在保险范围内承担赔偿责任。
提起诉讼：在收集到足够证据并确定被告后，家属可以向有管辖权的人民法院提起诉讼，要求肇事者（或其保险公司）赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。如果受害者因伤致残或死亡，还可以要求赔偿残疾赔偿金、死亡赔偿金等。
申请先予执行：在诉讼过程中，如果受害者因医疗费用等紧急情况需要立即获得赔偿，家属可以向法院申请先予执行。法院在审查后认为符合条件的，可以裁定先予执行部分或全部赔偿款项，以解受害者的燃眉之急。
可能的法律后果
肇事者承担赔偿责任：如果法院最终判决肇事者承担赔偿责任，肇事者需要按照判决内容向受害者或其家属支付相应的赔偿款项。如果肇事者拒不履行判决义务，受害者或其家属可以向法院申请强制执行。
肇事者可能面临刑事处罚：除了民事责任外，肇事者还可能因逃逸行为面临刑事处罚。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。因此，肇事者不仅需要承担民事责任，还可能面临刑事责任的追究。
最后，我理解您现在可能非常焦急和无助，但请相信法律会为受害者伸张正义。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。