结论：针对您被公司开除且未提前一个月通知的情况，赔偿问题需根据解除劳动合同的合法性来具体分析。若公司违法解除，您有权要求公司支付赔偿金，具体数额为您在公司工作每满一年支付两个月工资的标准计算，您工作5年半，则赔偿金为11个月工资；若公司解除行为合法，则无需支付赔偿金，但特定情形下需支付代通知金。
详细分析：
公司违法解除劳动合同的情况：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，若公司辞退员工不属于法定情形，或虽属于可解除情形但未提前一个月书面通知，则构成违法解除。
- 赔偿标准：在违法解除的情况下，公司应按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。经济补偿标准为员工在公司工作的每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的，按一年计算，不满六个月的，支付半个月工资。因此，您在公司工作5年半，赔偿金应为11个月工资（5.5年*2=11个月）。
- 操作建议：若您认为公司构成违法解除，可先与公司进行协商，要求按照法律规定支付相应赔偿。协商不成时，可向劳动监察部门投诉，或依法向劳动仲裁机构申请仲裁。对仲裁结果不服的，有权向法院提起诉讼。
公司合法解除劳动合同的情况：
- 法律依据：若公司辞退员工符合《劳动合同法》第三十九条规定的情形（如员工严重违反规章制度、严重失职等），且公司有确凿证据支持，则解除行为合法。
- 赔偿情况：在合法解除的情况下，若公司未提前一个月通知员工，对于特定情形（如员工患病不能胜任工作、劳动合同订立时的客观情况发生重大变化等），公司应额外支付一个月工资作为代通知金。但若解除行为完全合法且不属于需支付代通知金的情形，则公司无需支付任何额外赔偿。
- 操作建议：若您认为公司解除行为合法，但未支付代通知金且符合支付条件，可与公司协商要求支付。协商不成时，同样可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
特殊情况说明：
- 对于在公司工作年限较长（如10年以上）的员工，若属于合法辞退且不符合支付代通知金的情形，公司无需支付经济补偿；若双方协商一致解除劳动合同，公司应按员工工作年限支付经济补偿；若属于违法辞退，则需支付二倍的经济补偿作为赔偿金。但此规定主要针对工作年限较长的员工，您的情况（5年半）不直接适用此特殊规定，但赔偿计算原则相同。
后续行动建议：
- 在处理此类纠纷时，建议您首先收集并保留相关证据（如劳动合同、辞退通知、工资单等），以便在协商、投诉或仲裁过程中证明自己的权益。
- 若您对法律程序不熟悉或担心自己的权益无法得到充分保障，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。