结论：申请执行人在执行和解协议约定其有权恢复原判决执行的情况下，可以向人民法院申请恢复执行原生效法律文书。
法律背景与解释：
执行和解协议的性质：
- 执行和解协议是申请执行人与被执行人在执行过程中，就如何履行生效法律文书所确定的义务而达成的合意。这种协议通常具有民事合同的性质，但一旦达成并经法院确认，它也会对执行程序产生直接影响。
恢复执行的条件：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释的规定，如果在执行过程中，双方当事人自行达成和解协议，并且申请执行人因被执行人不履行或者不完全履行和解协议而请求恢复执行原生效法律文书的，人民法院应当恢复执行。
- 在本题中，执行和解协议已经明确约定了申请执行人有权恢复原判决的执行，这实际上为申请执行人提供了一个明确的法律救济途径。
恢复执行的程序：
- 申请执行人需要向执行法院提交恢复执行的申请书，并附上相关证据材料，如执行和解协议、被执行人不履行或不完全履行和解协议的证据等。
- 执行法院在收到申请后，会进行审查，如果认为符合恢复执行的条件，会裁定恢复执行，并通知双方当事人。
法律建议：
- 保留证据：申请执行人在达成执行和解协议后，应妥善保管好协议文本以及被执行人不履行或不完全履行协议的证据，以便在需要恢复执行时能够提供充分的证明。
- 及时申请：一旦发现被执行人不履行或不完全履行和解协议，申请执行人应及时向执行法院提交恢复执行的申请，以免错过最佳时机。
- 咨询专业意见：在处理此类复杂法律问题时，建议申请执行人咨询专业律师的意见，以确保自己的权益得到充分保障。
可能的法律后果：
- 如果申请执行人成功恢复执行，被执行人将面临被强制执行的风险，包括但不限于财产被查封、扣押、拍卖等。
- 如果申请执行人未能提供充分证据证明被执行人不履行或不完全履行和解协议，或者法院认为不符合恢复执行的条件，那么申请可能会被驳回。
综上所述，申请执行人在执行和解协议约定其有权恢复原判决执行的情况下，确实可以向人民法院申请恢复执行原生效法律文书。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。