结论：在执行过程中，如果双方达成了执行和解协议，并且被执行人一直按照和解协议履行，那么申请执行人通常不能再随意申请恢复原生效法律文书的执行，但存在特定例外情形。以下是对此问题的详细分析：

一、执行和解协议的法律效力

执行和解协议是双方当事人在执行过程中，就执行标的、执行方式等事项达成的书面协议。根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释的规定，执行和解协议具有法律效力，一旦达成并履行，将产生相应的法律后果。具体来说，如果被执行人按照执行和解协议履行了义务，那么原生效法律文书的执行程序将视为终结，申请执行人不能再就同一事项申请恢复执行。

二、申请执行人不能随意申请恢复执行的原因

1. 执行和解协议的履行：如果被执行人已经按照执行和解协议履行了全部或部分义务，那么申请执行人再申请恢复原生效法律文书的执行，将违反诚实信用原则，也不符合执行和解协议的目的和宗旨。

2. 执行程序的终结：执行和解协议的履行，通常意味着执行程序的终结。在执行程序终结后，除非存在法定情形，否则申请执行人不能再次申请执行。

三、例外情形

尽管一般情况下申请执行人不能随意申请恢复执行，但存在以下特定例外情形时，申请执行人可以向法院申请恢复执行：

1. 被执行人不履行和解协议：如果被执行人未按照执行和解协议履行义务，或者履行义务不符合约定，申请执行人可以向法院申请恢复执行原生效法律文书。

2. 和解协议存在无效或可撤销情形：如果执行和解协议存在无效或可撤销的情形，如欺诈、胁迫等，申请执行人可以在法定期限内向法院申请撤销和解协议，并恢复执行原生效法律文书。

四、法律建议

1. 仔细审查和解协议：在达成执行和解协议前，申请执行人应仔细审查协议内容，确保协议条款明确、具体，且符合自身利益。

2. 保留相关证据：在执行和解协议履行过程中，申请执行人应保留好相关证据，如履行凭证、沟通记录等，以备不时之需。

3. 及时咨询律师：如果申请执行人对执行和解协议的履行情况或法律后果存在疑问，应及时咨询专业律师，以便获得准确的法律意见和帮助。

总结：在执行过程中达成执行和解协议并按照协议履行后，申请执行人通常不能随意申请恢复原生效法律文书的执行。但存在被执行人不履行和解协议或和解协议存在无效、可撤销情形等特定例外时，申请执行人可以向法院申请恢复执行。因此，在处理此类问题时，申请执行人应谨慎行事，并咨询专业律师以获取准确的法律意见。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。