不合法。针对您在新开品牌上班半个月，未签劳动合同且被负责人解雇的情况，以下是从不同角度的详细分析：
劳动合同签订的法律规定
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，且应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。这是法律的强制性规定，旨在保护劳动者的合法权益，明确双方的权利和义务。
未签劳动合同的法律后果
双倍工资赔偿：
- 如果用人单位未在规定时间内与劳动者签订书面劳动合同，那么从用工之日起的第二个月开始，用人单位需要向劳动者支付双倍的工资作为赔偿。这一规定旨在惩罚用人单位的违法行为，并补偿劳动者因此可能遭受的损失。
劳动关系确认：
- 即使没有签订书面劳动合同，只要存在事实上的劳动关系（如您实际为该品牌提供了劳动服务），那么您与该品牌之间就建立了劳动关系。在这种情况下，您仍然享有劳动法规定的各项权利，如获得劳动报酬、享受社会保险等。
负责人解雇您的合法性分析
- 解雇的合法性：负责人解雇您是否合法，取决于解雇的原因和程序。如果解雇是基于您的工作表现、能力或行为等合理原因，并且遵循了公司内部的解雇程序（如提前通知、支付经济补偿等），那么解雇可能是合法的。然而，如果解雇没有合理的理由或未遵循法定程序，那么解雇就是违法的。
- 未签劳动合同对解雇的影响：由于您未与该品牌签订书面劳动合同，这可能会影响解雇的合法性判断。在没有书面合同的情况下，解雇的合法性和合理性可能更加难以证明。因此，如果负责人无正当理由解雇您，您有权要求公司承担相应的法律责任。
建议与措施
收集证据：
- 保留与该品牌相关的所有证据，如工作证、工资条、工作记录、与负责人的沟通记录等。这些证据将有助于您证明与该品牌之间存在事实上的劳动关系，以及解雇的不合理性。
与负责人协商：
- 尝试与负责人进行协商，了解解雇的具体原因，并要求公司支付应得的劳动报酬和经济补偿。如果协商无果，您可以考虑采取进一步的法律措施。
申请劳动仲裁：
- 如果与负责人协商无果，您可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁。在仲裁过程中，您需要提供充分的证据来证明自己的主张。如果仲裁结果对您有利，您可以要求公司履行仲裁裁决或向法院提起诉讼。
寻求法律援助：
- 如果您在处理此事过程中遇到困难或需要进一步的法律帮助，可以随时向我咨询。我将根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。
总结：未签劳动合同且被负责人解雇的情况是不合法的。您有权要求公司支付应得的劳动报酬和经济补偿，并可以采取法律措施来维护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。