上班半个月被辞退且没签劳动合同，这一行为是否违法需分情况讨论：
关于未签劳动合同：
- 根据我国《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起一个月内应当与劳动者订立书面劳动合同。因此，上班半个月未签劳动合同，并不直接构成违法。但若超过一个月仍未签订，则用人单位需承担法律责任，包括支付双倍工资等。
关于被辞退：
- 若辞退合法：如劳动者在试用期间被证明不符合录用条件，或存在严重违反用人单位规章制度等情形，用人单位有权依法解除劳动合同，且无需支付经济补偿。但在此情况下，用人单位仍需结清劳动者工作期间的工资。
- 若辞退违法：如用人单位无正当理由随意解除劳动关系，则构成违法辞退。此时，劳动者有权要求用人单位支付赔偿金。赔偿金按经济补偿标准的二倍计算，由于工作不满六个月，经济补偿为半个月工资，故赔偿金为一个月工资。
针对您的情况，以下是一些法律建议：
- 协商解决：首先，您可以尝试与用人单位协商，要求其支付应得的工资及可能的赔偿金，并补签劳动合同。
- 申请劳动仲裁：若协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，通过法律途径维护自身合法权益。在申请仲裁时，您需要提供相关证据，如考勤记录、工作成果、工资条等，以证明您的劳动关系及被辞退的事实。
- 注意证据收集：在整个过程中，您应注意收集并保存相关证据，以便在需要时提供证明。
若用人单位存在违法行为，您可能享有的权益：
- 要求支付工资：无论是否签订劳动合同，用人单位都应支付您工作期间的工资。
- 要求支付赔偿金：若用人单位违法辞退您，您有权要求其支付赔偿金，即一个月工资。
- 要求签订劳动合同：若您希望继续在该单位工作，可以要求用人单位与您签订书面劳动合同。
最后，需要提醒的是：劳动纠纷的处理可能涉及复杂的法律程序和证据收集，因此建议您在处理过程中保持冷静，必要时寻求专业法律人士的帮助。如果您在此过程中有任何疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。