针对您提出的“劳动合同到期后，用人单位如何合法提出不续签且不用支付补偿”的问题，这确实是一个涉及劳动法多个知识点的复杂议题。以下是我为您详细梳理的解答：
一、合法不续签且无需支付补偿的特定情形
根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同到期后，用人单位在以下特定情形下提出不续签，是无需向劳动者支付经济补偿金的：
用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订，劳动者不同意：
- 用人单位应确保续签条件在工资、岗位、工作地点等关键条款上不低于原合同标准，并书面通知劳动者。若劳动者因个人原因不同意续签，则用人单位无需支付经济补偿。
- 操作要点：务必留存好书面通知及续签条件的证据，以防后续纠纷。
劳动者开始依法享受基本养老保险待遇：
- 当劳动者达到法定退休年龄并开始享受基本养老保险待遇时，劳动合同自然终止，用人单位无需支付经济补偿。
- 操作要点：用人单位需核实劳动者的养老保险享受情况，并妥善办理离职手续。
劳动者死亡或被宣告死亡/失踪：
- 在劳动者死亡或被法院宣告死亡/失踪的情况下，劳动合同终止，用人单位同样无需支付经济补偿。
- 操作要点：用人单位应获取有效法律文件（如死亡证明、法院判决书）作为终止合同的依据。
二、一般原则与道德考量
- 在正常情况下，用人单位应遵循劳动法的基本原则，尊重劳动者权益。若无法就续签条件达成一致，且不属于上述特定情形，用人单位应按法律规定支付经济补偿金。
- 经济补偿金的计算标准通常按劳动者在本单位工作年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年按一年计，不满六个月支付半个月工资。
三、建议与注意事项
- 严格遵守法律法规：用人单位在处理劳动合同续签问题时，应严格遵守相关法律法规，避免违法操作带来的法律风险。
- 充分沟通协商：在决定不续签前，用人单位应与劳动者进行充分沟通，说明原因和依据，努力达成双方都能接受的解决方案。
- 注重证据留存：无论是否需要支付经济补偿，用人单位都应注重证据留存，如书面通知、续签条件、沟通记录等，以备不时之需。
- 咨询专业法律人士：在遇到复杂或疑难问题时，建议用人单位咨询专业法律人士或机构，以获取准确的法律意见和帮助。
综上所述，劳动合同到期后，用人单位在特定情形下可以合法提出不续签且无需支付补偿。但无论如何，用人单位都应遵循法律法规，尊重劳动者权益，通过充分沟通协商来解决问题，共同构建和谐的劳动关系环境。