街道办事处与其工作人员之间发生的争议，在多数情况下可以适用《劳动合同法》，但需根据工作人员的具体身份和性质来判断。以下是对此问题的详细分析：

1. 街道办事处作为用人单位的适用性：

   • 街道办事处作为基层政府派出机构，虽然其性质与一般的公司、企业等用人单位有所不同，但在劳动法律关系上，它同样具有用人单位的主体资格。这意味着，街道办事处与其工作人员之间建立的劳动关系，原则上应受《劳动合同法》的调整。

2. 工作人员身份与性质的判断：

   • 公务员或参照公务员管理的人员：如果街道办事处的工作人员属于公务员或参照公务员管理的人员，那么他们与街道办事处之间的关系将不受《劳动合同法》的调整，而是适用《公务员法》等相关法律法规。这是因为公务员与国家机关之间建立的是一种特殊的行政法律关系，与劳动关系有本质的区别。
   • 非公务员身份的工作人员：对于非公务员身份的工作人员，如聘用制员工、临时工等，他们与街道办事处之间建立的是劳动关系，因此应适用《劳动合同法》的相关规定。这包括劳动合同的签订、履行、变更、解除和终止，以及劳动报酬、工作时间、休息休假、劳动安全卫生、社会保险等方面的权益保障。

3. 特殊情况的考虑：

   • 在某些特殊情况下，如街道办事处通过劳务派遣方式使用工作人员，那么劳动关系将存在于劳务派遣单位与被派遣劳动者之间，而街道办事处作为用工单位，将承担相应的用工责任。这种情况下，虽然直接的法律关系不发生在街道办事处与被派遣劳动者之间，但街道办事处仍需遵守《劳动合同法》中关于用工单位的相关规定。

4. 法律建议：

   • 对于街道办事处与其工作人员之间的争议，首先应明确工作人员的身份和性质，以确定适用的法律法规。
   • 如果争议涉及非公务员身份的工作人员，建议双方首先通过协商、调解等方式解决争议；协商、调解不成的，可以依法申请劳动仲裁或提起诉讼。
   • 在处理争议过程中，双方应遵守相关法律法规的规定，尊重对方的合法权益，以维护劳动关系的和谐稳定。

总结来说，街道办事处与其工作人员之间发生的争议是否适用《劳动合同法》，需根据工作人员的具体身份和性质来判断。对于非公务员身份的工作人员，其与街道办事处之间的劳动关系应受《劳动合同法》的调整。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。