您有权就婆家小叔子未经您同意私自将您的名字刻在墓碑上的行为提起诉讼，该行为可能涉及对您姓名权和名誉权的侵犯。以下是对此问题的详细分析：

一、法律背景

1. 姓名权：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人享有姓名权，有权依法决定、使用、变更或者许可他人使用自己的姓名，但是不得违背公序良俗。任何组织或者个人不得以干涉、盗用、假冒等方式侵害他人的姓名权。

2. 名誉权：名誉权是公民或法人保持并维护自己名誉的权利。它是人格权的一种。这些被维护的名誉是指具有人格尊严的名声，是人格的重要内容，受法律的保护。未经您同意，将您的名字刻在墓碑上，可能对您造成名誉上的损害，尤其是如果这种行为被误解为与墓碑主人有特定关系（如配偶、子女等）时。

二、法律分析

1. 侵权行为：婆家小叔子未经您同意，私自将您的名字刻在墓碑上，这一行为可能构成对您姓名权的侵犯。同时，如果这种行为导致您的社会评价降低，还可能构成对您名誉权的侵犯。

2. 法律责任：根据《民法典》的相关规定，侵害他人姓名权、名誉权的，应当承担侵权责任。这包括停止侵害、赔礼道歉、消除影响、恢复名誉，以及赔偿损失等。

三、建议措施

1. 协商解决：首先，您可以尝试与婆家小叔子进行协商，要求其停止侵害、消除影响，并赔礼道歉。如果双方能够达成一致，可以签订书面协议，明确各自的权利和义务。

2. 提起诉讼：如果协商无果，您可以向人民法院提起诉讼，要求婆家小叔子承担侵权责任。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据证明其侵权行为以及您因此遭受的损失。

3. 收集证据：在提起诉讼前，建议您收集相关证据，如墓碑的照片、视频、证人证言等，以证明婆家小叔子的侵权行为。同时，您也可以咨询专业律师，了解具体的诉讼流程和注意事项。

四、可能后果

1. 胜诉后果：如果您胜诉，婆家小叔子将被要求停止侵害、赔礼道歉、消除影响、恢复名誉，并可能赔偿您因此遭受的损失。

2. 败诉后果：如果您败诉，可能是因为证据不足或法律适用不当等原因。此时，您可以考虑上诉或寻求其他法律途径解决纠纷。但请注意，上诉并不意味着一定会改变原判决结果。

如有进一步疑问或需要法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供更详细的法律建议和指导。