如果工厂不与您签订劳动合同，这确实是违法的行为，您完全有权采取一系列措施来维护自己的合法权益。以下是我为您详细梳理的应对步骤和建议：

一、与工厂沟通协商

首先，您可以尝试与工厂进行友好沟通，明确表达您希望签订劳动合同的意愿，并要求工厂在合理期限内补签。这是最直接且平和的解决方式，有助于双方建立明确的劳动关系基础。

二、收集证据证明劳动关系

即使没有书面劳动合同，您也应积极收集能够证明与工厂存在劳动关系的证据。这些证据可能包括：

• 工资支付凭证，如工资条或银行工资流水记录；
• 工作证件，如工作证、工牌等；
• 考勤记录，如打卡记录、考勤表等；
• 工作文件，如与工作相关的安排、任务分配记录等；
• 同事证言，其他同事的证言也可以作为补充证据。

这些证据在后续可能的维权过程中将起到至关重要的作用。

三、主张双倍工资差额

根据《劳动合同法》的规定，如果工厂自用工之日起超过一个月不满一年未与您订立书面劳动合同，您有权向工厂主张未签合同期间的双倍工资差额。这是法律对用人单位未按规定签订劳动合同的惩罚性规定，旨在保护您的合法权益。

四、解除劳动关系并要求经济补偿

如果工厂存在长期不签劳动合同等严重违法行为，您有权选择解除劳动关系，并要求工厂支付经济补偿。经济补偿的标准通常按您在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。

五、通过法律途径维权

1. 向劳动监察部门投诉：您可以向当地劳动监察部门投诉工厂未签订劳动合同的违法行为。劳动监察部门将进行调查核实，并责令工厂改正违法行为，必要时对工厂处以行政处罚。

2. 申请劳动仲裁：

   • 提出申请：您需向当地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，写明双方的基本信息、仲裁请求以及事实和理由，并附上相关证据材料。
   • 仲裁受理：仲裁委员会将在规定时间内进行审查，决定是否受理。如果受理，会通知双方当事人，并安排仲裁庭开庭审理。
   • 开庭审理：在仲裁庭上，双方当事人进行举证、质证和辩论。仲裁庭会根据双方提供的证据和陈述进行综合判断和裁决。
   • 执行裁决：如果您胜诉而工厂不履行仲裁裁决，您可以向法院申请强制执行。

3. 提起诉讼：如果您对仲裁结果不服，还可以在规定的时间内向人民法院提起诉讼，通过司法途径来维护自己的合法权益。

六、寻求法律援助

在维权过程中，如果您感到困惑或无助，可以寻求专业律师的协助。律师可以提供法律咨询、代理仲裁或诉讼等法律服务，帮助您更好地维护自己的合法权益。

总之，工厂不与您签订劳动合同是违法的行为，您有多种法律手段来维护自己的权益。在维权过程中，请保持冷静和理性，依法行事，并积极寻求专业法律意见的支持。希望这些建议能对您有所帮助。