针对您的情况，首先明确结论：您有权要求单位支付病假期间的工资，并且如果单位无正当理由解除劳动合同，您还可以要求单位支付违法解除劳动合同的赔偿金。 以下是对此问题的详细分析：
一、关于病假期间的工资支付
法律依据：
- 根据《劳动法》及相关规定，劳动者在病假期间，用人单位应当按照不低于当地最低工资标准的80%支付病假工资或者疾病救济费。这是劳动者的合法权益，用人单位不得无故克扣或拖欠。
您的权益：
- 您在病假期间，有权要求单位按照上述规定支付病假工资。如果单位未支付或支付不足，您可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，要求单位补足差额。
二、关于单位解除劳动合同的合法性
未签订劳动合同的影响：
- 虽然您与单位未签订书面劳动合同，但根据《劳动合同法》的规定，自用工之日起一个月内，经用人单位书面通知后，劳动者不与用人单位订立书面劳动合同的，用人单位应当书面通知劳动者终止劳动关系，无需向劳动者支付经济补偿。然而，如果单位未在一个月内与您签订书面劳动合同，且继续用工，则视为双方已订立无固定期限劳动合同，单位不得随意解除。
- 在您的情况下，由于单位未与您签订书面劳动合同，且您已实际为单位工作了一段时间，因此单位不能仅凭未签订合同就解除劳动关系。
病假与解除劳动合同：
- 劳动者在病假期间，除非存在严重违反用人单位规章制度、严重失职等法定情形，否则用人单位不得解除劳动合同。您的情况是病假后单位不要您了，这很可能构成违法解除劳动合同。
您的权益：
- 如果单位无正当理由解除劳动合同，您可以要求单位支付违法解除劳动合同的赔偿金。赔偿金的标准为经济补偿标准的两倍，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
三、建议行动步骤
收集证据：
- 收集能够证明您与单位存在劳动关系的证据，如工作证、工资条、考勤记录、同事证言等。
- 收集病假期间的医疗证明、请假条等证据，以证明您病假期间的合法性。
与单位协商：
- 尝试与单位进行协商，要求单位支付病假工资和违法解除劳动合同的赔偿金。
申请劳动仲裁或提起诉讼：
- 如果协商无果，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求单位支付病假工资和赔偿金。
- 对劳动仲裁结果不服的，您还可以向法院提起诉讼。
希望以上分析能对您有所帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。