针对您被私人雇主无故辞退且未签合同、未交保险的情况，您有权通过法律途径主张多项权益，包括但不限于未签合同的双倍工资差额、违法解除的赔偿金、未缴纳社保的补缴或补偿等。以下是具体分析：

1. 未签书面合同的权益主张
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。您可主张从入职第二个月起至实际离职日期间的双倍工资差额（需提供工资支付记录、工作证、考勤记录等证明劳动关系存在的证据）。

2. 违法解除劳动关系的赔偿
   若雇主无法证明解除理由合法（如严重违纪、不能胜任工作等），则构成违法解除，您有权依据《劳动合同法》第四十八条、第八十七条主张赔偿金，标准为经济补偿金的二倍（经济补偿金按工作年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年按一年计算，不满六个月支付半个月工资）。

3. 未缴纳社保的补缴或补偿
   根据《社会保险法》第五十八条、第六十三条，用人单位未依法缴纳社保的，您可要求补缴社保（需向社保部门投诉，由社保征收机构责令补缴）。若因未缴社保导致您无法享受社保待遇（如医疗、失业等），可主张实际损失赔偿。

4. 其他可能主张的权益

• 加班费：若存在加班事实且未支付加班费，可主张加班工资（需提供加班证据，如考勤记录、工作安排等）。
  
• 未休年休假工资：若工作满一年未享受年休假，可主张未休年休假工资（按日工资300%计算，含已支付部分）。
  

行动建议：

1. 收集证据：优先整理工资支付记录（银行流水、微信转账等）、工作证、考勤记录、工作沟通记录（微信/邮件）、同事证言等，证明劳动关系及工作时长。
   
2. 协商解决：可先与雇主沟通，明确诉求（如支付双倍工资、赔偿金、补缴社保等），协商过程中注意保留书面或录音证据。
   
3. 投诉或仲裁：若协商无果，可向当地劳动监察大队投诉（针对社保补缴、拖欠工资等），或直接申请劳动仲裁（主张双倍工资、赔偿金等）。仲裁时效为离职后一年内。
   

注意事项：

• 若雇主为个人（非个体工商户或公司），可能被认定为劳务关系而非劳动关系，此时无法主张劳动法下的权益（如双倍工资、赔偿金），但可依据《民法典》主张劳务报酬及违约赔偿。
  
• 社保补缴需通过社保部门处理，劳动仲裁或法院一般不直接处理社保补缴问题。
  

如有进一步疑问或需具体操作指导，可直接向我咨询，我会结合您的证据情况提供详细方案。