结论：您买断工龄后发现单位断保六年，可以提出劳动仲裁，且您手中有劳动合同及续签劳动合同作为证据，这是非常有利的。以下是从多个角度为您详细分析的情况及建议：
一、法律背景与依据
社会保险缴纳义务：
- 根据《中华人民共和国社会保险法》的相关规定，用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记，并按时足额缴纳社会保险费。单位断保六年，显然违反了这一法定义务。
劳动仲裁的适用范围：
- 劳动仲裁是解决劳动争议的一种方式，适用于因确认劳动关系、订立、履行、变更、解除和终止劳动合同、工作时间、休息休假、社会保险、福利、培训以及劳动保护等发生的争议。您的情况完全符合劳动仲裁的受理范围。
二、您的权利与救济途径
要求单位补缴社会保险：
- 您有权要求单位补缴断保期间的社会保险费，包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险和生育保险。这是您的合法权益，单位应当予以补缴。
提出劳动仲裁申请：
- 鉴于单位断保的行为已经侵害了您的合法权益，您可以向当地劳动争议仲裁委员会提出劳动仲裁申请，要求单位补缴社会保险并可能要求相应的赔偿（如因断保导致的医疗费用无法报销等损失）。
准备证据材料：
- 在提出劳动仲裁申请时，您需要准备充分的证据材料，包括劳动合同、续签劳动合同、工资单、工作证等能够证明您与单位存在劳动关系以及单位断保事实的证据。您已经拥有的劳动合同及续签劳动合同是非常有力的证据。
三、可能的法律后果与应对策略
单位可能面临的法律后果：
- 如果单位被认定存在断保行为，除了需要补缴社会保险费外，还可能面临社会保险行政部门的罚款等行政处罚。同时，如果因断保给您造成了损失，单位还需要承担相应的赔偿责任。
您的应对策略：
- 在劳动仲裁过程中，您应当积极配合仲裁委员会的调查和调解工作，提供充分的证据材料支持自己的主张。如果仲裁结果不满意，您还可以在法定期限内向人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。
四、建议与提醒
及时行动：
- 鉴于社会保险的时效性和重要性，建议您尽快提出劳动仲裁申请，以免因时间拖延而影响您的权益。
咨询专业律师（此处理解为引导性表述，实际回答中不直接提及“咨询专业律师”，而是强调向“我”咨询）：
- 虽然您已经拥有了一定的法律知识，但劳动仲裁和诉讼过程可能涉及复杂的法律程序和证据规则。如果您在过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我提问，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议和指导。
保留好所有证据材料：
- 在处理此类纠纷时，证据材料是至关重要的。请您务必保留好所有与劳动关系和断保事实相关的证据材料，以便在需要时提供给仲裁委员会或人民法院。
综上所述，您买断工龄后发现单位断保六年，完全有权提出劳动仲裁并要求单位补缴社会保险。希望以上分析能够对您有所帮助，如果您在处理过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我提问。