员工没有写离职申请，公司是否可以开除员工，这主要取决于开除的原因和法律依据。

首先，我们需要明确一点：开除是用人单位单方面解除劳动合同的行为，与员工是否提交离职申请无关。离职申请是劳动者基于个人原因主动向用人单位提出解除劳动合同的意愿表达，而开除则是用人单位基于管理权力和法律规定，对有过错或不符合工作要求的劳动者采取的强制性解除劳动关系的措施。

一、公司合法开除员工的情况

1. 员工存在严重违纪、严重失职等法定解除情形：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，用人单位可以解除劳动合同的情形包括员工严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等。在这些情形下，用人单位有权单方解除合同，员工无需配合写离职申请。

2. 公司依据法定程序进行开除：

   • 公司在开除员工前，应提前通知员工，明确说明开除的原因和依据，并按照法律规定办理离职手续，如结算工资、社保关系转移等。这是公司的法定义务，与员工是否提交离职申请无关。

二、公司违法开除员工的情况

• 如果公司无合法依据单方面解除劳动关系，如员工未存在严重违纪、严重失职等法定解除情形，则公司属于违法解除劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条，劳动者有权要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。在此情况下，劳动者更无需写离职申请。

三、员工应对建议

1. 了解自身权益：

   • 员工应了解自己的权益和义务，明确开除与离职申请的区别。在面对开除决定时，保持冷静，不要轻易签署任何可能损害自身权益的文书。

2. 审查公司文书：

   • 如果公司要求员工填写一些表格或文书以办理离职手续，员工应仔细审查文书内容，确保其真实性。如遇不合理表述（如将离职原因写成员工主动辞职），员工应拒绝填写，并要求公司按实际情况填写。

3. 寻求法律帮助：

   • 如果员工对公司的开除决定有异议，认为其违反了相关法律法规或劳动合同约定，建议咨询专业律师或劳动法律机构，以便更好地了解自身权利和义务，并采取适当行动维护自己的合法权益。

综上所述，员工没有写离职申请，公司是否可以开除员工取决于开除的原因和法律依据。在合法开除的情况下，公司无需员工提交离职申请；在违法开除的情况下，员工有权要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。员工应了解自己的权益和义务，并在必要时寻求法律帮助以维护自身合法权益。