结论：在房子借给亲戚借住但后续亲戚不愿意搬走的情况下，您确实可以去法院起诉，并且根据具体情况，有可能要求亲戚支付房租。

分析如下：

1. 法律关系分析：

   • 您与亲戚之间原本形成的是借住关系，这通常基于亲情或友情，并不直接涉及金钱交易。然而，当亲戚不愿意搬走时，这种关系可能转变为一种事实上的占用关系。
   • 如果借住时双方有明确的约定，比如亲戚需要支付一定的费用或者在一定时间内搬离，那么亲戚不履行这些约定就构成了违约，您有权依据约定要求亲戚承担相应的责任。
   • 即使没有明确的约定，如果亲戚的占用行为给您造成了损失（比如您无法将房屋出租给他人获取租金），您也有权要求亲戚赔偿这些损失。

2. 起诉的法律依据：

   • 根据《民法典》的相关规定，物权受到侵害的，权利人可以通过和解、调解、仲裁、诉讼等途径解决。因此，您有权向法院提起诉讼，要求亲戚搬离并可能要求支付房租或赔偿损失。
   • 具体来说，如果亲戚的占用行为构成了无权占有，您作为房屋的所有权人，有权要求无权占有人返还原物，并可以要求赔偿因占用期间造成的损失。

3. 可能面临的挑战与应对：

   • 证据收集：在起诉前，您需要收集足够的证据来证明您与亲戚之间的借住关系、亲戚不愿意搬走的事实以及您因此遭受的损失。这些证据可能包括借住时的协议、聊天记录、证人证言、房屋租赁市场的租金水平等。
   • 诉讼策略：在诉讼过程中，您需要根据具体情况制定合适的诉讼策略。比如，如果亲戚主张有继续借住的合理理由，您需要准备相应的反驳证据；如果亲戚同意搬离但拒绝支付房租或赔偿损失，您需要明确提出具体的赔偿请求和计算依据。

4. 关于房租的请求：

   • 如果您希望要求亲戚支付房租，您需要证明在借住期间或亲戚不愿意搬离后，您有将房屋出租给他人获取租金的意图和能力。这通常可以通过提供房屋租赁市场的租金水平、您与其他潜在租客的沟通记录等证据来支持。
   • 如果无法证明这一点，您可能只能要求亲戚赔偿因占用房屋而给您造成的实际损失，比如您因无法出租房屋而失去的租金收入。

建议：

• 在起诉前，尝试与亲戚进行协商，看是否能够达成和解协议，避免不必要的法律纠纷。
• 如果协商无果，及时咨询专业律师（即向我咨询），制定合适的诉讼策略并准备充分的证据。
• 在诉讼过程中，保持冷静和理性，遵循法律程序和规定，以维护自己的合法权益。