结论：员工胸闷自行去医院看病并来电请假说自己住院，后期当天死亡，是否算工伤需根据具体情况判断，若死亡原因与工作相关且符合工伤认定条件，则可能被认定为工伤；若死亡原因与工作无关或不符合工伤认定条件，则可能不被认定为工伤。以下从不同角度进行分析：
一、工伤认定的基本条件
根据《工伤保险条例》的相关规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害，或者因履行工作职责受到暴力等意外伤害的，应当认定为工伤。同时，职工在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的，也视同工伤。
二、本案情况分析
工作时间与工作场所：
- 若员工胸闷的症状是在工作时间和工作场所内出现的，且因工作原因导致（如长时间工作、工作环境恶劣等），则符合工伤认定的基本条件之一。
- 若员工胸闷的症状并非在工作时间内或工作场所内出现，而是自行前往医院看病，则这一条件可能不满足。但关键在于后续是否因工作原因导致病情加重或死亡。
突发疾病与死亡原因：
- 若员工胸闷是突发疾病的表现，且该疾病与工作有直接关联（如因工作导致的职业病或过度劳累引发的心脏病等），且在当天死亡，则可能符合“在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡”的视同工伤条件。
- 若员工胸闷并非突发疾病，或该疾病与工作无直接关联，或死亡原因并非由该疾病导致（如因其他非工作原因导致的死亡），则可能不符合工伤认定条件。
请假与就医行为：
- 员工已来电请假并说明自己住院，这表明员工已意识到自己病情的严重性，并采取了就医措施。然而，这一行为本身并不直接决定是否构成工伤，关键在于死亡原因与工作是否有关联。
三、可能的情况与建议
若死亡原因与工作相关：
- 如员工因工作原因导致胸闷，且该症状最终导致死亡，则家属应尽快向用人单位提出工伤认定申请，并准备相关证据材料（如医疗证明、工作记录等）。
- 用人单位应在规定时间内向社会保险行政部门提出工伤认定申请，并配合调查核实工作。
若死亡原因与工作无关：
- 如员工胸闷并非因工作原因导致，或死亡原因与工作无直接关联，则可能不符合工伤认定条件。此时，家属可考虑通过其他途径（如民事诉讼）寻求赔偿或救济。
建议与注意事项：
- 家属在处理此类事件时，应保持冷静，及时收集并保存相关证据材料。
- 如有需要，可咨询专业律师以获取更详细的法律建议和指导。
最后，每个工伤案件都有其独特性，具体是否构成工伤需根据案件事实和相关法律法规进行综合判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。