核心结论：公司若以“管理跟不上”为由对管理人员降职降薪，需提供充分证据证明该管理人员确实存在管理失职或能力不足，且该失职或不足与降职降薪具有直接因果关系。具体需提供的证明材料及法律分析如下：

1. 证明管理人员“管理跟不上”的具体事实

• 证据类型：公司需提供客观、可量化的证据，证明管理人员存在管理失职或能力不足。例如：
  • 绩效考核记录：显示管理人员未完成关键绩效指标（KPI），或管理团队业绩持续低于公司平均水平；
  • 下属或同事证言：证明管理人员存在决策失误、沟通不畅、团队凝聚力差等问题；
  • 客户投诉或反馈：若管理人员负责客户管理，需提供客户投诉记录或满意度调查结果；
  • 审计报告或专项检查：如财务审计发现管理漏洞，或专项检查发现管理流程存在严重缺陷。
• 法律要求：根据《劳动合同法》第三十五条，公司调整员工岗位或薪酬需与员工协商一致。若公司单方面降职降薪，需证明该调整具有合理性，即管理人员确实存在“管理跟不上”的情形。

2. 证明降职降薪与“管理跟不上”的直接因果关系

• 证据类型：公司需证明降职降薪是针对管理人员管理失职的直接后果，而非其他原因（如公司经营困难、岗位调整等）。例如：
  • 降职降薪决定书：明确说明降职降薪的原因是“管理跟不上”，并列举具体事实；
  • 公司规章制度：若公司规章制度中明确规定“管理失职可降职降薪”，需证明该制度已向员工公示并经员工签字确认；
  • 替代方案排除：证明公司已尝试其他管理措施（如培训、辅导），但管理人员仍未改进，降职降薪是最后手段。
• 法律要求：根据《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第四十四条，公司需证明降职降薪具有合理性，否则可能被认定为违法调整。

3. 程序合法性证明

• 证据类型：公司需证明降职降薪程序合法，包括：
  • 协商记录：证明公司已与管理人员协商降职降薪事宜，但未达成一致；
  • 工会或职工代表大会意见：若公司设有工会或职工代表大会，需提供其同意降职降薪的书面意见；
  • 书面通知：证明公司已向管理人员送达降职降薪的书面通知，并明确告知申诉途径。
• 法律要求：根据《劳动合同法》第四十三条，公司单方面调整员工岗位或薪酬需事先通知工会，并听取工会意见。

4. 风险提示与建议

• 公司风险：若公司无法提供充分证据证明“管理跟不上”或程序不合法，可能被认定为违法调整，需支付经济补偿或赔偿金。
• 管理人员应对：若认为降职降薪不合理，可要求公司出具书面证明，并保留相关证据（如工作记录、沟通记录等），必要时申请劳动仲裁。

总结：公司以“管理跟不上”为由降职降薪，需从事实、因果关系、程序合法性三方面提供充分证据。若您是管理人员且认为降职降薪不合理，可直接向我咨询具体应对策略。