结论：店长在未签劳动合同的情况下，仅上班半个月就辞退员工，这一行为既不合法也不合规，员工有权要求相应的赔偿或补救措施。
一、未签劳动合同的违法性
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，且应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。若未按时签订，用人单位将面临法律责任。具体来说：
双倍工资赔偿：根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。虽然您仅上班半个月，未达到一个月的标准，但此条款明确了用人单位未按时签订劳动合同的法律后果，体现了法律对劳动者权益的保护。
事实劳动关系：即使未签订书面劳动合同，只要劳动者实际提供了劳动，且用人单位接受了劳动成果，双方即构成事实劳动关系。这意味着，您与店长之间已经存在了劳动关系，店长不能随意解除。
二、辞退行为的违法性
违法解除劳动关系：店长在未签订劳动合同且未给出合法理由的情况下辞退您，可能构成违法解除劳动关系。根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。虽然您的工作时间较短，但这一原则同样适用，即您有权要求相应的赔偿。
经济补偿的计算：虽然您的工作时间不长，但若店长确实违法解除了劳动关系，您仍有权要求一定的经济补偿。经济补偿通常按照劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。不过，由于您的工作时间较短，具体补偿金额可能有限，但您仍有权主张。
三、建议与措施
与店长协商：首先，您可以尝试与店长进行沟通，说明未签劳动合同和违法辞退的违法性，要求其补签劳动合同或给予相应的经济补偿。
向劳动监察部门投诉：若协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉，请求其介入调查并维护您的合法权益。
申请劳动仲裁：若投诉仍未得到解决，您可以向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求店长承担相应的法律责任并给予赔偿。
总结：店长在未签劳动合同的情况下辞退您，这一行为既违反了《劳动合同法》关于签订书面劳动合同的规定，也可能构成违法解除劳动关系。您有权要求店长补签劳动合同或给予相应的经济补偿，并可以通过与店长协商、向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁等方式来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。