结论：在餐饮店上班一个半月未签劳动合同，您有权要求餐饮店支付未签劳动合同的双倍工资差额，并可以此为由解除劳动关系，同时要求支付经济补偿金（如果符合法定情形）。以下是对此问题的详细分析：

一、未签劳动合同的法律后果

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，您在餐饮店工作一个半月未签劳动合同，餐饮店应当向您支付一个半月的双倍工资差额，即除了您已经获得的正常工资外，还应额外支付一个月的工资作为补偿。

二、解除劳动关系的权利

由于餐饮店未与您签订劳动合同，您有权以此为由解除劳动关系。在解除劳动关系时，您可以要求餐饮店出具解除劳动关系的证明，并在办理工作交接时要求餐饮店支付您应得的工资、奖金、津贴等劳动报酬，以及未签劳动合同的双倍工资差额。

三、经济补偿金的可能性

虽然未签劳动合同本身并不直接导致经济补偿金的支付，但如果您以餐饮店未签劳动合同为由解除劳动关系，并且符合《中华人民共和国劳动合同法》中关于经济补偿金支付的其他情形（如餐饮店未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件、未及时足额支付劳动报酬等），则您有权要求餐饮店支付经济补偿金。经济补偿金的计算标准通常是根据您在餐饮店的工作年限和月工资来确定的。不过，就您目前描述的情况，仅因未签劳动合同而解除劳动关系，并不直接触发经济补偿金的支付，除非存在其他法定情形。但值得注意的是，若您以此为由提出解除，部分地区司法实践中可能支持半个月工资作为经济补偿（具体需结合当地司法实践判断）。

四、建议行动步骤

1. 收集证据：首先，您需要收集能够证明您与餐饮店存在劳动关系的证据，如工作证、考勤记录、工资条、同事证言等。这些证据将有助于您在后续的法律程序中维护自己的权益。

2. 与餐饮店协商：在收集到足够证据后，您可以尝试与餐饮店进行协商，要求其支付未签劳动合同的双倍工资差额，并协商解除劳动关系的相关事宜。如果协商成功，您可以与餐饮店签订书面协议，明确双方的权利和义务。

3. 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求餐饮店支付未签劳动合同的双倍工资差额，并可能要求支付经济补偿金（如果符合法定情形）。在申请劳动仲裁时，您需要提交仲裁申请书、证据材料等相关文件。

4. 寻求法律援助：如果您在劳动仲裁过程中遇到困难或需要进一步的法律帮助，您可以向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律意见和帮助。

五、注意事项

• 在整个过程中，您需要保持冷静和理性，避免与餐饮店发生不必要的冲突和纠纷。
• 您需要确保自己提供的证据真实、合法、有效，以便在后续的法律程序中维护自己的权益。
• 如果您对法律程序不熟悉或感到困惑，建议及时寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保障。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。