针对您提出的问题，即货运公司雇佣的司机没有签劳动合同，司机追尾全责且仅公司车受损时，司机应承担的责任，以下是我的详细分析：
未签劳动合同的影响：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，且应当订立书面劳动合同。若未签订，用人单位可能面临支付双倍工资等法律责任。但这并不影响司机因工作行为产生的责任承担。
- 对于司机而言，未签劳动合同并不改变其作为公司员工的事实，也不影响其因工作行为（如驾驶）产生的法律责任。
司机追尾全责的责任承担：
- 司机在执行工作任务时发生交通事故，且被认定为全责，那么根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，司机应当对其过错行为造成的损害承担赔偿责任。
- 在此情况下，由于仅公司车辆受损，司机需承担的是对公司车辆的维修或赔偿费用。但具体责任承担方式，还需考虑司机与公司之间的劳动关系性质及公司内部规定。
责任承担的具体分析：
- 若司机与公司构成劳动关系：
- 司机在执行工作任务时造成公司财产损失，通常视为职务行为，其责任可能由公司承担，但公司有权根据内部规定向司机追偿。追偿的金额和方式需依据公司规章制度、劳动合同或相关法律法规确定。
- 若公司规章制度或劳动合同中明确规定了司机在造成公司财产损失时的赔偿责任，则司机需按照约定承担相应责任。
- 若司机与公司构成劳务关系（如临时雇佣、未签劳动合同但实际提供劳务）：
- 司机在提供劳务过程中造成公司财产损失，根据《中华人民共和国民法典》中关于劳务关系的规定，接受劳务一方（公司）可能需承担一定责任，但提供劳务一方（司机）因故意或重大过失造成的损失，接受劳务一方有权向其追偿。
- 在此情况下，司机需根据其过错程度承担相应的赔偿责任。
建议与后续行动：
- 对于司机：建议与公司协商解决赔偿事宜，明确责任承担方式和金额。若协商不成，可寻求法律援助或通过法律途径解决。
- 对于公司：建议完善内部规章制度，明确员工在执行工作任务时造成公司财产损失的责任承担方式。同时，可考虑与员工签订书面劳动合同，以明确双方权利义务。
总结来说，司机在未签劳动合同的情况下发生追尾事故且全责，其责任承担需根据其与公司之间的劳动关系性质及公司内部规定来确定。若构成劳动关系，司机可能需根据公司规章制度或劳动合同承担相应责任；若构成劳务关系，司机则需根据其过错程度承担赔偿责任。建议双方协商解决，若协商不成可寻求法律途径解决。如有任何法律问题，可以直接向我咨询。