针对您的情况，首先明确结论：司机在交通事故中全责受伤且车辆严重受损，同时公司未签劳动合同，您可以从交通事故赔偿和未签劳动合同的维权两个角度来处理此事。
一、交通事故赔偿角度
全责事故的赔偿原则：
- 在交通事故中，如果您被认定为全责，那么您需要承担自己车辆损失以及对方可能因事故产生的损失（如果有的话）。由于您是全责方，您的车辆损失通常需要通过您自己的车辆保险（如车损险）来获得赔偿。
保险理赔流程：
- 立即报警并通知保险公司，按照保险公司的要求提供事故现场照片、事故认定书等相关材料。
- 保险公司会派员对车辆损失进行评估，并根据保险条款尽快进行理赔。
- 如果您未购买车损险或保险不足以覆盖全部损失，那么您需要自行承担剩余部分的损失。
个人受伤赔偿：
- 如果您因事故受伤，且购买了车上人员责任险（司机险），那么您可以根据保险条款获得相应的医疗费用赔偿。
- 如果没有购买此类保险，或者保险赔偿不足以覆盖您的医疗费用，那么您需要自行承担这部分费用。不过，如果您是在执行工作任务时发生的事故，且能证明公司存在过错（如未提供安全的工作环境或必要的劳动保护），您可能还有权向公司主张一定的赔偿，但这需要具体分析事故原因和公司的责任。
二、未签劳动合同的维权角度
未签劳动合同的法律后果：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 如果用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
维权步骤：
- 收集证据：首先，您需要收集能够证明您与公司之间存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录、同事证言等。
- 协商解决：尝试与公司进行协商，要求公司签订书面劳动合同并支付未签合同期间的双倍工资差额。
- 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付未签合同期间的双倍工资差额以及其他可能的赔偿（如加班费、未休年假工资等）。
- 提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不满意，您还可以向法院提起诉讼，通过司法途径维护自己的合法权益。
注意事项：
- 在维权过程中，务必保持冷静和理性，避免采取过激行为。
- 及时咨询专业律师（即我，张朋勃律师，专注于交通事故处理和债权债务领域），以便更好地了解自己的权益和维权策略。
总结来说，您需要同时处理交通事故赔偿和未签劳动合同的维权两个问题。在交通事故方面，主要依靠保险理赔和个人承担（或尝试向公司主张赔偿）；在未签劳动合同方面，则可以通过收集证据、协商解决、申请劳动仲裁和提起诉讼等步骤来维护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。