当员工处于医疗期内且劳动合同到期时，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，处理方式如下：
一、劳动合同自动续延
根据《劳动合同法》第四十五条，若劳动合同期满时，员工正处于患病或非因工负伤的医疗期内，劳动合同应自动续延至医疗期结束。这意味着，即便原劳动合同约定的期限已经届满，但由于员工仍在医疗期内，劳动关系仍然会继续存续，不会因合同到期而立即终止。
二、医疗期结束后的处理
医疗终结且能从事原工作：
- 如果员工的医疗期在劳动合同期限内结束，并且能够从事原工作，那么劳动合同将继续履行至其原定的期限届满。
不能从事原工作：
- 若员工医疗期满后仍不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位可以依法解除劳动合同。但在此情况下，用人单位需提前三十日以书面形式通知员工本人，或额外支付一个月工资作为代通知金，并依法支付经济补偿金。经济补偿金的具体标准为：每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
劳动能力鉴定：
- 对于经劳动能力鉴定委员会确认完全或部分丧失劳动能力的员工，其劳动合同的解除或终止将按照国家有关工伤保险的规定执行。
三、特殊情形的处理
工伤职工：
- 对于被认定为工伤的员工，其在停工留薪期内的待遇不受劳动合同期限的影响。停工留薪期一般不超过12个月，伤情严重或者情况特殊的，经设区的市级劳动能力鉴定委员会确认，可以适当延长，但延长不得超过12个月。
协商一致：
- 在某些情况下，用人单位与员工也可以协商一致，在医疗期内提前终止劳动合同。但这需要双方达成书面协议，并确保不违反法律法规的强制性规定。
四、注意事项
保留相关证据：
- 用人单位在处理此类问题时，应妥善保留员工的医疗证明、劳动合同等相关证据，以备不时之需。
遵守法定程序：
- 在解除或终止劳动合同时，用人单位必须严格遵守法定程序，确保员工的合法权益不受侵害。
关注政策变化：
- 由于劳动法律法规可能随时间而调整，用人单位应及时关注相关政策变化，确保自身行为的合法性。
综上所述，当员工处于医疗期内且劳动合同到期时，劳动合同将自动续延至医疗期满。医疗期满后，根据员工的健康状况和用人单位的安排，双方可协商续签或终止劳动合同。在此过程中，用人单位应严格遵守法律法规，确保员工的合法权益得到保障。