当员工处于医疗期内且劳动合同到期时，其处理方式需严格遵循相关法律法规，并兼顾员工的健康状况与用人单位的实际情况。以下是对此问题的详细解答：

一、劳动合同的自动延续

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十五条的规定，若劳动合同期满时，员工正处于患病或非因工负伤的医疗期内，劳动合同应自动续延至医疗期结束。这意味着，即使原劳动合同约定的期限已经届满，但由于员工仍在医疗期内，劳动关系仍然存续，合同不会立即终止。

二、医疗期内的用人单位义务

1. 不得随意解除劳动合同：在医疗期内，用人单位不得以合同到期为由解除与员工的劳动合同。若用人单位违反此规定擅自解除合同，员工有权要求继续履行；若员工不要求继续履行或合同已无法继续履行，用人单位需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。

2. 支付病假工资或疾病救济费：在医疗期内，用人单位应按照当地规定向员工支付病假工资或疾病救济费。该费用虽可低于当地最低工资标准，但不得低于最低工资标准的80%，以保障员工的基本生活需求。

三、医疗期结束后的处理方式

1. 续签劳动合同：医疗期满后，若员工恢复健康且双方均有意愿继续劳动关系，可按正常程序续签劳动合同，明确新的权利和义务。

2. 调整岗位或终止劳动合同：

   • 若医疗期满后，员工不能从事原工作，用人单位应尝试为员工安排其他合适的工作岗位。
   • 若员工也不能胜任用人单位另行安排的工作，用人单位需提前三十日以书面形式通知员工本人，或额外支付一个月工资后，方可解除劳动合同。此时，用人单位应按员工在本单位工作的年限支付经济补偿，具体为每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则支付半个月工资的经济补偿。

3. 劳动能力鉴定与工伤保险：对于经劳动能力鉴定委员会确认完全或部分丧失劳动能力的员工，其劳动合同的解除或终止将按照国家有关工伤保险的规定执行，确保员工的合法权益得到充分保障。

四、特殊情形与注意事项

1. 工伤职工：对于被认定为工伤的员工，其在停工留薪期内的待遇不受劳动合同期限的影响。停工留薪期一般不超过12个月，伤情严重或者情况特殊的，经设区的市级劳动能力鉴定委员会确认，可以适当延长，但延长不得超过12个月。

2. 协商一致：在某些特殊情况下，用人单位与员工也可以协商一致，在医疗期内提前终止劳动合同。但这需要双方达成书面协议，并确保不违反法律法规的强制性规定。

3. 保留相关证据：用人单位在处理此类问题时，应妥善保留员工的医疗证明、劳动合同等相关证据，以备不时之需。

4. 遵守法定程序：在解除或终止劳动合同时，用人单位必须严格遵守法定程序，确保员工的合法权益不受侵害。

5. 关注政策变化：由于劳动法律法规可能随时间而调整，用人单位应及时关注相关政策变化，确保自身行为的合法性。

综上所述，当员工处于医疗期内且劳动合同到期时，用人单位应依法处理，确保员工的合法权益得到充分保障。同时，员工也应了解自己的权益和义务，积极与用人单位沟通协商，共同维护劳动关系的和谐稳定。