结论前置：若将员工转入老板名下其他公司但未重新签订劳动合同，后续开除员工时，劳动关系的认定及赔偿计算需根据具体情况判断，可能涉及原公司或新公司的责任。以下是具体分析：

1. 劳动关系是否转移的认定

• 若劳动关系未实际转移：
  即使员工被安排至老板名下其他公司工作，但未签订新合同且原公司未解除劳动关系（如工资、社保仍由原公司发放），则劳动关系仍属于原公司。此时开除员工，需由原公司承担法律责任，赔偿标准按《劳动合同法》执行（如经济补偿金按工作年限计算，每满一年支付一个月工资）。
• 若劳动关系实际转移：
  若员工实际在新公司工作，且原公司已解除劳动关系（如办理离职手续、停发工资社保），但未签订新合同，则可能视为新公司与员工存在事实劳动关系。此时开除员工，新公司需承担赔偿责任，且因未签合同，员工可主张双倍工资差额（最多11个月）。

2. 未签劳动合同的法律后果

• 根据《劳动合同法》第10条、第82条，用人单位自用工之日起超过1个月未签书面合同的，需支付双倍工资。
  
  • 若原公司未解除劳动关系：新公司未签合同，但原公司仍为用人单位，责任可能由原公司承担（需结合实际用工情况判断）。
    
  • 若原公司已解除劳动关系：新公司未签合同，需支付双倍工资，且开除员工时需按事实劳动关系处理赔偿。

3. 开除员工的合法性及赔偿

• 合法开除：若员工存在严重违纪、失职等法定情形，用人单位可合法解除合同，无需支付赔偿金。但需提供证据证明开除合法性。
  
• 违法开除：若无法定理由开除员工，需支付赔偿金（经济补偿金的2倍）。例如，工作5年需支付10个月工资。

4. 实务建议

• 员工：保留工资条、社保记录、工作证等证据，证明实际用工单位及劳动关系。若被开除，可主张未签合同的双倍工资及违法解除赔偿。
  
• 用人单位：转移员工时需签订书面协议，明确劳动关系变更，避免事实劳动关系争议。开除员工时需依法定程序，留存证据。

总结：未重新签订劳动合同的情况下开除员工，责任主体及赔偿标准需结合劳动关系是否转移、实际用工情况等判断。建议双方均保留证据，必要时通过劳动仲裁或诉讼解决争议。如有具体案件细节，可进一步向我咨询。