结论前置：

1. 若砍伤行为构成犯罪，即使双方达成赔偿，公安机关仍可能追究刑事责任。
2. 若砍伤行为不构成犯罪，仅涉及民事赔偿，公安机关通常不会追究责任。

详细分析：

首先，我们需要明确的是，拿刀砍伤人这一行为，其法律性质取决于伤情的严重程度以及行为人的主观意图。在法律上，这可能涉及故意伤害罪等刑事犯罪，也可能仅构成一般的民事侵权。

一、若砍伤行为构成犯罪

根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。这意味着，如果砍伤行为达到了犯罪的程度，那么即使双方已经达成了赔偿协议，公安机关仍然有权并可能继续追究行为人的刑事责任。因为刑事责任是对犯罪行为的法律制裁，其目的在于惩罚犯罪、保护社会，而非仅仅补偿受害者。

二、若砍伤行为不构成犯罪

如果砍伤行为并未达到犯罪的程度，而仅构成一般的民事侵权，那么双方达成的赔偿协议通常可以视为对民事纠纷的解决。在这种情况下，公安机关通常不会主动追究行为人的责任，因为这属于民事纠纷的范畴，应由当事人通过民事途径（如协商、调解、诉讼等）解决。当然，如果受害者认为赔偿不足或存在其他争议，仍然可以通过法律途径维护自己的权益。

三、特殊情况下的考虑

此外，还需要考虑一些特殊情况。例如，如果砍伤行为发生在特定的社会背景下（如聚众斗殴、寻衅滋事等），或者行为人具有特殊的身份（如公职人员、军人等），那么即使双方达成了赔偿协议，公安机关也可能根据相关法律法规或政策要求，对行为人进行进一步的调查和处理。

建议与提醒：

1. 及时报警并配合调查：无论砍伤行为是否构成犯罪，受害者都应及时报警并配合公安机关的调查工作。这有助于保护自己的权益，也有助于公安机关及时查明事实、依法处理。
2. 谨慎处理赔偿事宜：在达成赔偿协议时，双方应谨慎考虑赔偿金额、支付方式等条款，确保协议内容合法、有效。同时，建议双方在律师的指导下进行协商和签订协议，以避免后续纠纷。
3. 关注法律后果：行为人应充分认识到自己行为的法律后果，不要因一时的冲动或疏忽而触犯法律。如果行为已经构成犯罪，应主动配合司法机关的工作，争取从轻或减轻处罚。

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