结论前置：

1. 若您与工厂之间原本存在劳动合同且合同未到期：工厂不续签合同，您有权要求工厂支付经济补偿金。
2. 若您与工厂之间原本无书面劳动合同但存在事实劳动关系：工厂不与您签订书面劳动合同且解除劳动关系，您同样有权要求工厂支付经济补偿金，并可能要求支付未签订书面劳动合同的双倍工资差额（但需注意时效问题）。
3. 若您已达到法定退休年龄：工厂不签合同可能不涉及经济补偿，但需根据具体情况判断是否存在其他权益受损。

详细分析：

一、若您与工厂之间原本存在劳动合同且合同未到期

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，用人单位终止固定期限劳动合同的，应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿的标准按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

二、若您与工厂之间原本无书面劳动合同但存在事实劳动关系

1. 未签订书面劳动合同的双倍工资差额： 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。但需注意，此项请求受一年仲裁时效的限制，即从您知道或应当知道权利被侵害之日起一年内提出。

2. 经济补偿金： 若工厂因您达到退休年龄或其他原因解除与您的事实劳动关系，且未提前三十日以书面形式通知您，您同样有权要求工厂支付经济补偿金，计算方式与上述有书面劳动合同的情形相同。但需注意，若您已达到法定退休年龄并开始享受基本养老保险待遇，则工厂解除劳动关系可能不涉及经济补偿。

三、若您已达到法定退休年龄

根据《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第二十一条，劳动者达到法定退休年龄的，劳动合同终止。在此情况下，工厂不签合同可能不涉及经济补偿。但需注意，若您虽达到退休年龄但未享受基本养老保险待遇，且工厂继续用工，则双方之间可能形成劳务关系，此时工厂不签合同可能不涉及劳动合同法下的经济补偿，但需根据具体情况判断是否存在其他权益受损，如工资拖欠、工伤赔偿等。

建议与行动：

• 收集证据：无论哪种情况，都建议您先收集与工厂存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录等。
• 协商解决：尝试与工厂协商解决，看是否能达成一致意见。
• 申请劳动仲裁：若协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
• 咨询专业律师：在处理过程中，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。