结论前置：

1. 法律上，员工无需主动提醒公司续签合同，但合同到期不续签可能涉及经济补偿问题。
2. 从实务操作角度，建议员工在合同到期前与公司沟通续签事宜，以避免不必要的法律纠纷。

法律分析：

首先，从法律的角度来看，员工与公司签订的劳动合同到期后，双方均有权选择是否续签。法律并未规定员工需要主动提醒公司续签合同，这是双方自主协商的过程。然而，如果合同到期后公司不续签，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司可能需要向员工支付经济补偿。具体来说，如果公司不续签劳动合同，且员工没有过错，公司应当按照员工在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向员工支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。

实务操作建议：

尽管法律上没有规定员工需要提醒公司续签合同，但从实务操作的角度来看，建议员工在合同到期前与公司进行沟通，明确双方是否有续签的意愿。这样做的好处在于：

1. 避免法律纠纷：通过提前沟通，可以明确双方的态度，避免因合同到期未续签而产生的法律纠纷。如果公司无意续签，员工可以提前做好准备，寻找新的工作机会。
2. 保障自身权益：如果员工希望续签合同，但公司未提出续签，员工可以通过沟通了解公司的意图，并据此采取相应的措施，如要求公司支付经济补偿或寻求法律援助。
3. 维护良好关系：提前沟通有助于维护员工与公司之间的良好关系，即使合同到期不续签，也能以和平、友好的方式结束劳动关系。

特殊情况处理：

如果员工在合同到期后继续在公司工作，而公司未提出异议，这可能被视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。然而，为了避免未来的法律纠纷，建议双方在这种情况下尽快签订新的劳动合同或书面确认继续履行的条款。

总结与建议：

员工在合同到期前无需主动提醒公司续签，但为了保障自身权益和避免法律纠纷，建议与公司进行沟通。如果公司不续签合同，员工有权要求公司支付经济补偿。同时，员工也应关注合同到期后的工作状态，确保自己的权益不受损害。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我将为你提供专业的法律意见。