可以要求公司赔偿。结合您描述的情况，您有权从以下几个角度主张权利，具体分析如下：
1. 未签订书面劳动合同的双倍工资差额
根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付2倍工资（最多11个月）。
- 您的情形：入职6年未签合同，但需注意诉讼时效为1年（自知道权利被侵害之日起算）。实践中，部分法院可能支持从最后11个月主张双倍工资差额，但需结合地方司法实践。
- 建议：立即收集能证明劳动关系的证据（如工资流水、工牌、考勤记录等），尽快主张权利。
2. 未依法缴纳社保的补偿
根据《社会保险法》第58条、第63条，用人单位必须为劳动者缴纳社保。若未缴纳，您可要求：
- 补缴社保：向当地社保部门投诉，要求公司补缴工作期间的社保费用；
- 经济补偿：若因未缴社保导致您无法享受社保待遇（如医疗、养老），可要求公司赔偿实际损失。
- 注意：补缴社保可能受时效限制（通常为2年），但部分地区支持追溯至入职时。
3. 违法解除劳动合同的赔偿金
根据《劳动合同法》第40条、第87条，公司解除劳动合同需提前30日书面通知或支付代通知金（1个月工资），且需符合法定情形（如严重违纪、不能胜任工作等）。若公司未提前通知且无法定理由辞退您，属于违法解除，应支付2倍经济补偿金（即“2N”）。
- 计算方式：经济补偿金=工作年限×月工资（6年=6个月工资，违法解除赔偿金=12个月工资）。
- 您的情形：公司未提前通知且无合法理由辞退，您有权主张12个月工资的赔偿金。
4. 其他潜在权利
- 未休年休假工资：若公司未安排年休假，可要求按日工资300%支付未休年休假工资；
- 加班费：若存在加班事实，可要求支付加班费。
行动建议
- 收集证据：工资流水、工牌、考勤记录、工作邮件、同事证言等能证明劳动关系的材料；
- 协商解决：与公司沟通，明确诉求（补缴社保、支付赔偿金等）；
- 投诉或仲裁：若协商无果，可向当地劳动监察大队投诉或申请劳动仲裁（时效为1年，自离职之日起算）。
总结：您的情况涉及多项权利主张，建议尽快行动以避免时效问题。如有进一步疑问或需要协助准备材料，可直接向我咨询。