机关事业单位外聘人员解除劳动合同的补偿问题，一般由派遣公司负责补偿。以下是详细分析：
一、劳务派遣关系中的法律责任主体
在劳务派遣关系中，存在三方主体：劳务派遣单位（即派遣公司）、用工单位（即机关事业单位）和被派遣劳动者（即外聘人员）。根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条的规定，劳务派遣单位是用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务，包括与劳动者签订劳动合同、支付劳动报酬、缴纳社会保险费以及承担解除劳动合同后的经济补偿等责任。
二、解除劳动合同的补偿责任
派遣公司责任：
- 当被派遣劳动者与派遣公司之间的劳动合同被解除时，无论是因何种原因解除（如协商一致解除、劳动者单方解除、派遣公司单方解除等），只要符合《中华人民共和国劳动合同法》中关于经济补偿的规定，派遣公司就应当向劳动者支付经济补偿。
- 经济补偿的标准按照劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
机关事业单位责任：
- 机关事业单位作为用工单位，并不直接承担解除劳动合同的经济补偿责任。其责任主要在于按照劳务派遣协议的约定，向派遣公司支付劳务费用，并确保被派遣劳动者在用工单位的工作条件、劳动保护等符合法律法规的规定。
- 如果机关事业单位违反劳务派遣协议或相关法律法规，给被派遣劳动者造成损害的，派遣公司应当依法承担赔偿责任，但机关事业单位也可能根据其过错程度承担相应的连带责任或补充责任。不过，这并不改变解除劳动合同经济补偿的主要责任主体为派遣公司的事实。
三、特殊情况下的责任分担
- 如果机关事业单位与派遣公司之间的劳务派遣协议中明确约定了关于解除劳动合同经济补偿的责任分担方式，且该约定不违反法律法规的强制性规定，那么双方应当按照协议约定履行。
- 在某些特殊情况下，如机关事业单位违法解除与被派遣劳动者的用工关系（非劳动合同关系），导致被派遣劳动者被派遣公司解除劳动合同的，机关事业单位可能需要根据其过错程度承担相应的赔偿责任。但这种情况并不改变经济补偿的主要责任主体为派遣公司的事实，机关事业单位的赔偿责任更多是基于其违法行为给劳动者造成的额外损害。
建议：作为机关事业单位的外聘人员，在面临解除劳动合同的情况时，应首先与派遣公司沟通协商经济补偿事宜。如果对补偿金额或补偿方式有异议，可以依法向劳动争议调解组织申请调解或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。同时，也可以咨询我这样的专业律师，以更好地维护自己的合法权益。