针对您提出的“第三方派遣因工死亡怎么办”的问题，我将结合相关法律法规和实际情况，为您提供一个清晰、详细、有深度的解答。
首先，我们需要明确的是，当劳动者通过第三方派遣机构被派遣到用工单位工作时，如果因工作原因导致死亡，那么该劳动者或其近亲属有权依法享受工伤保险待遇。这主要依据的是《工伤保险条例》以及人力资源社会保障部关于执行该条例的相关意见。
一、工伤保险责任的承担
派遣单位责任：根据《劳务派遣暂行规定》，劳务派遣单位（即第三方派遣机构）应当依法为被派遣劳动者缴纳工伤保险费。因此，在因工死亡的情况下，派遣单位应承担相应的工伤保险责任。
用工单位责任：虽然用工单位不直接为被派遣劳动者缴纳工伤保险费，但如果因用工单位的原因导致劳动者死亡（如用工单位的安全管理不到位等），用工单位也可能需要承担一定的法律责任。不过，在工伤保险待遇方面，主要由派遣单位负责。
二、工伤保险待遇的申请与享受
工伤认定：首先，需要由派遣单位或其近亲属向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。申请时，应提供与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的证明材料、医疗诊断证明或者职业病诊断证明书（或者职业病诊断鉴定书）等。
劳动能力鉴定：如果工伤认定成立，接下来需要进行劳动能力鉴定，以确定劳动者的伤残等级和享受工伤保险待遇的具体标准。
待遇享受：根据伤残等级和工伤保险政策，被派遣劳动者或其近亲属可以享受相应的工伤保险待遇，包括一次性工亡补助金、丧葬补助金、供养亲属抚恤金等。
三、特殊情况的处理
跨地区派遣：如果劳务派遣单位跨地区派遣劳动者，应根据《劳务派遣暂行规定》参加工伤保险。在这种情况下，工伤认定、劳动能力鉴定和工伤保险待遇的享受应按照参保地的规定进行。
未参保情况：如果派遣单位未依法为被派遣劳动者缴纳工伤保险费，那么在因工死亡的情况下，派遣单位应按照工伤保险政策的规定，向被派遣劳动者或其近亲属支付相应的工伤保险待遇。
四、案例分析
以您提供的案例为例，虽然姚某是在外派期间在单位宿舍突发疾病死亡，但根据《工伤保险条例》第十五条第(一)项的规定，职工在工作时间和工作岗位突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的，才视同工伤。而姚某是在下班后的休息时间、休息场所突发疾病，因此不符合视同工伤的条件。不过，如果姚某的死亡确实与工作有关（如因工作劳累导致突发疾病等），且派遣单位未依法为其缴纳工伤保险费，那么派遣单位可能需要承担一定的法律责任。
五、建议
及时申请工伤认定：一旦发生因工死亡的情况，派遣单位或其近亲属应尽快向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。
保留相关证据：在申请工伤认定和享受工伤保险待遇的过程中，应保留好与用人单位存在劳动关系、医疗诊断证明等相关证据。
咨询专业律师：如果遇到复杂的法律问题或争议，建议咨询专业律师以获取更准确的法律意见和帮助。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。