您工作了8年，私人店铺老板仅提前一周通知关门且未签订劳动合同的情况下，您确实有权获得一定的补偿。以下是从不同角度为您详细分析的情况：
一、未签订劳动合同的双倍工资差额
根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。虽然您已经工作了8年，远超出了这一年的期限，但这一规定体现了法律对未签订劳动合同行为的惩罚性。不过，在实际操作中，由于您的工作年限较长，直接主张双倍工资差额可能面临时效等问题，但这一规定仍体现了法律对劳动者权益的保护态度。更重要的是，它提醒我们，即使工作多年，未签订劳动合同的事实仍然存在，且可能在一定程度上影响您的权益主张。不过，就您当前的情况而言，更关键的是接下来的补偿问题。
二、经济补偿金
基本补偿：根据《劳动合同法》第四十六条和第四十七条，用人单位因经营不善等原因关闭店铺，导致与劳动者解除劳动合同的，应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，您有权获得8个月工资的经济补偿。
工资标准：这里的“月工资”是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。如果您的工资有波动，或者存在加班费、奖金等额外收入，这些都应该纳入计算范围。
三、额外补偿的可能性
除了基本的经济补偿金外，如果用人单位存在未依法为劳动者缴纳社会保险费等违法行为，您还有权要求用人单位补缴社会保险费，并可能因此获得额外的补偿或赔偿。不过，这需要根据具体情况和当地政策来确定。
四、实际操作建议
收集证据：首先，您需要收集能够证明您与用人单位存在事实劳动关系的证据，如工资条、工作证、同事证言等。这些证据将对您主张权益至关重要。
与用人单位协商：在收集到足够证据后，您可以尝试与用人单位进行协商，要求其按照法律规定支付经济补偿金和其他应得的补偿。
申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求用人单位支付经济补偿金和其他应得的补偿。在仲裁过程中，您需要提供充分的证据来支持您的主张。
提起诉讼：如果对仲裁结果不满，您还可以向人民法院提起诉讼，通过法律途径来维护自己的合法权益。
建议您尽快采取行动，收集相关证据，并与用人单位进行协商或申请劳动仲裁。如果您在处理过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。