在两人发生争执，其中一方自己摔倒的情况下，处理方式需要依据摔倒方的伤势程度、争执的具体情境以及双方的过错情况来综合判断。以下是一套详细且有条理的处理建议：
一、确保伤者安全
- 及时救治：
- 无论摔倒方的伤势轻重，首要任务是确保其获得及时的医疗救助。
- 如果伤势严重，如出现骨折、大量出血或意识不清等情况，应立即拨打120急救电话，将伤者送往医院进行检查和治疗。
二、报警与调查
轻微伤害处理：
- 如果摔倒方只是受了点皮外伤，且双方愿意自行协商解决，可以选择不立即报警。
- 但为了预防后续纠纷，建议仍然报警备案。警方会到场进行简单调解，并记录事件经过，这有助于后续如果出现问题时有据可查。
较重伤害或争议处理：
- 如果摔倒方伤势较重，或者双方对于责任归属存在争议，应立即报警。
- 警方会介入调查，通过询问当事人、证人，以及可能的现场勘查，来判断双方的过错程度。
三、责任判定与赔偿
过错判定：
- 如果另一方在争执中有言语刺激、轻微推搡等过错行为，即使这些行为没有直接导致摔倒方摔倒，但可能因存在一定过错而需要承担部分赔偿责任。
- 如果另一方没有过错行为，摔倒方摔倒系自身原因所致，那么另一方则无需承担赔偿责任。
赔偿协商：
- 摔倒方有权要求另一方给予民事赔偿，包括医疗费、误工费、护理费等合理费用。
- 双方可以自行协商赔偿数额和方式。如果协商不成，可以请求公安机关、人民调解委员会等第三方进行调解。
法律诉讼：
- 如果调解不成，或者摔倒方伤势严重，可能涉及民事侵权赔偿诉讼。
- 法院会根据双方的过错比例来确定赔偿责任，赔偿范围包括医疗费、误工费等合理费用。在极端情况下，如果另一方的行为构成犯罪（如故意伤害罪），还可能面临刑事处罚。
四、特殊情况处理
- 如果争执双方是夫妻或其他亲密关系，且争执升级为家庭暴力，受害者应寻求相关部门（如妇联、社会服务机构）的帮助，以确保自身安全并获得法律援助。
五、后续关系处理
- 无论争执结果如何，双方都应考虑如何修复或调整彼此的关系。
- 如果争执对关系造成了严重冲击，双方可以考虑寻求婚姻家庭咨询师、心理咨询师的帮助，以改善沟通模式，解决潜在问题。
总结：在两人发生争执，其中一方自己摔倒的情况下，应首先确保伤者得到及时救治，并根据伤势情况决定是否报警。随后，根据警方的调查结果和法律程序来处理责任判定和赔偿问题。在整个过程中，双方应保持冷静和理性，寻求专业法律支持和心理辅导（如需要），以妥善解决问题并维护自身权益。