在探讨工伤保险待遇案件中，当工伤保险基金不予承担相关费用时，提起行政诉讼的主体问题，我们需要从几个方面来详细分析。
首先，我们要明确的是，在工伤保险待遇案件中，职工一方通常是作为原告出现的。当职工因工伤事故发生，并与用人单位就工伤保险待遇产生争议，且双方协商不成时，职工有权作为原告向法院提起诉讼，要求用人单位支付相应的工伤保险待遇。
接下来，我们分析用人单位的角色。在大多数情况下，用人单位是作为被告出现的。这是因为，在工伤保险关系中，用人单位有义务为职工缴纳工伤保险费，并保障职工的工伤保险权益。如果用人单位未依法为职工缴纳工伤保险费，那么当职工发生工伤时，用人单位就需要承担支付工伤保险待遇的责任，此时用人单位自然成为被告。
然后，我们考虑工伤保险基金支付部分存在争议的情况。如果社保部门拒绝支付或支付金额有误，那么社保部门也可能成为诉讼主体。在这种情况下，社保部门可能会作为第三人参与诉讼，以便查明事实，确定基金支付责任。但需要注意的是，社保部门并不是在所有工伤保险待遇案件中都会成为诉讼主体，只有在涉及基金支付部分存在争议时才会涉及。
现在，我们回到原问题：当工伤保险基金不予承担相关费用时，提起行政诉讼的主体是谁？根据上述分析，我们可以得出以下结论：
如果争议焦点在于用人单位是否应支付工伤保险待遇（例如用人单位未依法缴纳工伤保险费），那么提起行政诉讼的主体是职工个人，用人单位作为被告。
如果争议焦点在于工伤保险基金是否应支付相关费用（例如社保部门拒绝支付或支付金额有误），并且职工认为社保部门的决定侵犯了其合法权益，那么职工个人也可以作为原告提起行政诉讼，此时社保部门可能作为被告或第三人参与诉讼。但严格来说，这种情况下更偏向于行政复议或行政诉讼针对社保部门的行政行为，而职工是这一行为的直接利害关系人。
综上所述，当工伤保险基金不予承担相关费用时，提起行政诉讼的主体通常是职工个人。职工可以根据争议的具体内容，选择将用人单位或社保部门（或两者同时）作为被告或第三人进行诉讼。但无论如何，职工个人都是这一诉讼过程中的核心主体，因为其是工伤保险待遇的直接受益人，也是争议解决的最直接利害关系人。