结论：法院是否支持女方以孩子的名义诉讼男方付抚养费，需视具体情况而定，但原则上，双方签订的抚养费协议虽不违反法律规定，却不能对抗法律上夫妻双方对子女的法定抚养义务。在特定“必要时”，法院可能会支持增加抚养费的诉求。
分析如下：
一、法定抚养义务不可免除
根据相关法律规定，父母对子女有法定的抚养义务。这种义务不因父母离婚或双方协议而免除。即使法院在调解离婚时，男方被免除抚养费支付义务，这并不意味着男方永远无需承担抚养责任。在特定情况下，如抚养子女一方的抚养能力明显下降，或抚养的子女所需花销明显增多，导致不增加抚养费无法保证子女日常生活时，法院可能会根据实际情况，支持增加抚养费的诉求。
二、“必要时”的具体情形
抚养能力下降：若抚养子女的一方因生病、破产等原因导致贫困，其抚养能力明显下降，无法独自承担子女的抚养费用，此时，法院可能会考虑支持增加抚养费的诉求。
子女花销增多：随着子女的成长，其教育费、医药费等开销可能会逐渐增加。若原有的抚养费标准已无法满足子女的实际需求，导致子女日常生活受到严重影响，法院也可能会支持增加抚养费的请求。
三、实际案例参考
以明水法院兴仁法庭审理的一起抚养费纠纷案件为例，被告李某与原告母亲杨某在离婚时约定抚养费由杨某自行负担。然而，随着原告年龄的增长，其教育费、医药费等开销逐渐增加，杨某已无法独自承担。无奈之下，杨某以原告名义起诉李某，要求其担负原告从七周岁至十八周岁的抚养费。最终，在法院的调解下，李某同意每月支付一定数额的抚养费。
四、法律建议
慎重考虑抚养费约定：夫妻双方在签订离婚协议时，应慎重考虑子女的抚养问题，作出有利于子女健康成长的抚养权及抚养费约定。避免做出超出自己能力范围的承诺，以免引起纠纷。
及时沟通协商：若抚养子女的一方确实遇到困难，无法独自承担抚养费用，应及时与另一方沟通协商，寻求解决方案。必要时，可寻求法律援助或通过诉讼途径解决。
关注子女成长需求：无论父母是否离婚，都应关注子女的成长需求，确保其得到充分的关爱和照顾。在抚养费问题上，应本着对子女负责的态度，合理分担抚养责任。
后续行动建议：若您或您身边的人遇到类似问题，建议及时收集相关证据，如子女开销证明、抚养能力下降证明等，并咨询专业律师（即我本人，韩莹律师，专注于离婚等领域），以便更好地维护自身及子女的合法权益。